Номер 12.66, страница 76 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.66, страница 76.

Условие.

12.66*. Пространство между прямоугольными обкладками плоского конденсатора частично заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Площадь пластин конденсатора равна $\text{S}$. Найдите емкость конденсатора $\text{C}$ в каждом из случаев, показанных на рисунках а, б, в.

Рис. а

Рис. б

Рис. в

Решение.

Решение 2.

Дано:

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика: $ \epsilon $

Площадь пластин конденсатора: $ S $

Размеры, указанные на рисунках: $ l, L, d, h $

Электрическая постоянная: $ \epsilon_0 $

Найти:

Емкость конденсатора $ C $ в каждом из случаев а, б, в.

Решение:

Емкость плоского конденсатора определяется формулой $ C = \frac{\epsilon_0 \epsilon S_{plate}}{d_{dist}} $, где $ S_{plate} $ — площадь перекрытия пластин, а $ d_{dist} $ — расстояние между ними, $ \epsilon $ — диэлектрическая проницаемость среды между пластинами.

Для решения задачи будем использовать метод эквивалентных схем, представляя различные участки конденсатора как отдельные конденсаторы, соединенные последовательно или параллельно.

При параллельном соединении конденсаторов их общая емкость равна сумме емкостей: $ C_{общ} = C_1 + C_2 + ... $

При последовательном соединении складываются обратные величины емкостей: $ \frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... $

а)

В этом случае конденсатор можно представить как два конденсатора, соединенных параллельно. Первый конденсатор ($ C_1 $) заполнен диэлектриком с проницаемостью $ \epsilon $, а второй ($ C_2 $) — воздухом (для воздуха $ \epsilon_{возд} \approx 1 $).

Пусть ширина пластин равна $ w $. Тогда общая площадь $ S = L \cdot w $, откуда $ w = S/L $.

Площадь первого конденсатора: $ S_1 = l \cdot w = l \frac{S}{L} $.

Площадь второго конденсатора: $ S_2 = (L - l) \cdot w = (L - l) \frac{S}{L} $.

Расстояние между пластинами для обоих конденсаторов одинаково и равно $ d $.

Емкость первого конденсатора: $ C_1 = \frac{\epsilon_0 \epsilon S_1}{d} = \frac{\epsilon_0 \epsilon l S}{L d} $.

Емкость второго конденсатора: $ C_2 = \frac{\epsilon_0 S_2}{d} = \frac{\epsilon_0 (L - l) S}{L d} $.

Общая емкость $ C_a $ при параллельном соединении равна сумме емкостей:

$ C_a = C_1 + C_2 = \frac{\epsilon_0 \epsilon l S}{L d} + \frac{\epsilon_0 (L - l) S}{L d} = \frac{\epsilon_0 S}{L d} (\epsilon l + L - l) = \frac{\epsilon_0 S}{L d} [L + l(\epsilon - 1)] $.

Ответ: $ C_a = \frac{\epsilon_0 S}{L d} [L + l(\epsilon - 1)] $.

б)

В этом случае конденсатор можно представить как два конденсатора, соединенных последовательно. Один конденсатор ($ C_1 $) образован слоем диэлектрика толщиной $ h $, а второй ($ C_2 $) — воздушным зазором толщиной $ d - h $. Площадь пластин для обоих конденсаторов одинакова и равна $ S $.

Емкость первого конденсатора (с диэлектриком): $ C_1 = \frac{\epsilon_0 \epsilon S}{h} $.

Емкость второго конденсатора (с воздухом): $ C_2 = \frac{\epsilon_0 S}{d - h} $.

Общая емкость $ C_b $ при последовательном соединении находится из соотношения:

$ \frac{1}{C_b} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{h}{\epsilon_0 \epsilon S} + \frac{d - h}{\epsilon_0 S} = \frac{1}{\epsilon_0 S} \left( \frac{h}{\epsilon} + d - h \right) = \frac{h + \epsilon(d - h)}{\epsilon_0 \epsilon S} $.

Отсюда, инвертируя дробь, получаем:

$ C_b = \frac{\epsilon_0 \epsilon S}{h + \epsilon(d - h)} $.

Ответ: $ C_b = \frac{\epsilon_0 \epsilon S}{h + \epsilon(d - h)} $.

в)

Данную конфигурацию можно рассматривать как параллельное соединение двух систем. Первая система (слева, $ C_{sys1} $) имеет длину $ l $, вторая (справа, $ C_{sys2} $) — длину $ L - l $.

Аналогично случаю (а), выразим площади участков через общую площадь $ S $:

Площадь первой системы: $ S_1 = l \cdot w = S \frac{l}{L} $.

Площадь второй системы: $ S_2 = (L - l) \cdot w = S \frac{L - l}{L} $.

Найдем емкость первой системы $ C_{sys1} $. Она представляет собой последовательное соединение двух конденсаторов: одного с диэлектриком (толщина $ h $, площадь $ S_1 $) и другого с воздухом (толщина $ d - h $, площадь $ S_1 $). По аналогии со случаем (б), ее емкость равна:

$ C_{sys1} = \frac{\epsilon_0 \epsilon S_1}{h + \epsilon(d - h)} = \frac{\epsilon_0 \epsilon S \frac{l}{L}}{h + \epsilon(d - h)} = \frac{\epsilon_0 \epsilon l S}{L(h + \epsilon(d - h))} $.

Найдем емкость второй системы $ C_{sys2} $. Это простой воздушный конденсатор с площадью $ S_2 $ и расстоянием между пластинами $ d $:

$ C_{sys2} = \frac{\epsilon_0 S_2}{d} = \frac{\epsilon_0 S \frac{L-l}{L}}{d} = \frac{\epsilon_0 (L - l) S}{L d} $.

Общая емкость $ C_c $ является суммой емкостей этих двух систем, так как они соединены параллельно:

$ C_c = C_{sys1} + C_{sys2} = \frac{\epsilon_0 \epsilon l S}{L(h + \epsilon(d - h))} + \frac{\epsilon_0 (L - l) S}{L d} $.

Вынесем общий множитель $ \frac{\epsilon_0 S}{L} $ за скобки:

$ C_c = \frac{\epsilon_0 S}{L} \left[ \frac{\epsilon l}{h + \epsilon(d - h)} + \frac{L - l}{d} \right] $.

Ответ: $ C_c = \frac{\epsilon_0 S}{L} \left[ \frac{\epsilon l}{h + \epsilon(d - h)} + \frac{L - l}{d} \right] $.