Номер 12.68, страница 77 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.68, страница 77.

Условие.

12.68*. В плоский конденсатор помещают две параллельные тонкие металлические пластины на одинаковом расстоянии друг от друга и от обкладок конденсатора (см. рисунок). На обкладки конденсатора подано напряжение $\text{U}$, обкладка 1 заземлена.

1) Каковы потенциалы пластин 2 и 3?

2) Как изменятся потенциалы пластин и напряженность поля во всех трех промежутках, если пластины 2 и 3 соединить проводником?

3) Во сколько раз изменится при этом емкость конденсатора? Изменятся ли заряды на обкладках 1 и 4?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Напряжение между обкладками 1 и 4: $ U $

Потенциал обкладки 1: $ \phi_1 = 0 $ (заземлена)

Расстояние между соседними пластинами: $ d_{12} = d_{23} = d_{34} = d $

Площадь пластин: $ S $

Диэлектрическая проницаемость вакуума: $ \epsilon_0 $

Найти:

1) Потенциалы пластин 2 и 3 ($ \phi_2, \phi_3 $)

2) Изменение потенциалов пластин 2 и 3 ($ \Delta\phi_2, \Delta\phi_3 $) и напряженностей поля ($ E_{12}, E_{23}, E_{34} $) после соединения пластин 2 и 3

3) Отношение емкостей $ C' / C $ и ответ на вопрос об изменении зарядов $ q_1, q_4 $.

Решение:

Поскольку обкладка 1 заземлена ($ \phi_1 = 0 $), а напряжение между обкладками 1 и 4 равно $ U $, то потенциал обкладки 4 равен $ \phi_4 = U $.

Данную систему можно рассматривать как три последовательно соединенных плоских конденсатора: $ C_{12} $ (между пластинами 1 и 2), $ C_{23} $ (между 2 и 3) и $ C_{34} $ (между 3 и 4). Так как расстояния между пластинами и их площади одинаковы, то емкости этих конденсаторов равны:

$ C_{12} = C_{23} = C_{34} = C = \frac{\epsilon_0 S}{d} $

1) При последовательном соединении одинаковых конденсаторов общее напряжение $ U $ распределяется между ними поровну. Следовательно, напряжение на каждом из трех промежутков равно:

$ U_{12} = U_{23} = U_{34} = \frac{U}{3} $

Теперь найдем потенциалы пластин 2 и 3. Потенциал — это скалярная величина, и разность потенциалов между двумя точками равна напряжению между ними. Двигаясь от пластины 1, потенциал которой равен нулю, получаем:

Потенциал пластины 2:

$ \phi_2 = \phi_1 + U_{12} = 0 + \frac{U}{3} = \frac{U}{3} $

Потенциал пластины 3:

$ \phi_3 = \phi_2 + U_{23} = \frac{U}{3} + \frac{U}{3} = \frac{2U}{3} $

Проверим для пластины 4: $ \phi_4 = \phi_3 + U_{34} = \frac{2U}{3} + \frac{U}{3} = U $, что соответствует условию.

Ответ: Потенциалы пластин 2 и 3 равны $ \phi_2 = U/3 $ и $ \phi_3 = 2U/3 $.

2) Если соединить пластины 2 и 3 проводником, они станут единым проводником с общим потенциалом $ \phi'_{2,3} $. Система теперь представляет собой два последовательно соединенных конденсатора: $ C_{12} $ (между пластинами 1 и объединенной пластиной 2-3) и $ C_{34} $ (между объединенной пластиной 2-3 и пластиной 4). Емкости этих конденсаторов по-прежнему равны $ C $.

Общее напряжение $ U $ теперь распределяется поровну между двумя конденсаторами:

$ U'_{12} = U'_{34} = \frac{U}{2} $

Найдем новые потенциалы:

$ \phi'_2 = \phi_1 + U'_{12} = 0 + \frac{U}{2} = \frac{U}{2} $

$ \phi'_3 = \phi'_2 = \frac{U}{2} $ (т.к. они соединены)

Таким образом, потенциал пластины 2 увеличился с $ U/3 $ до $ U/2 $, а потенциал пластины 3 уменьшился с $ 2U/3 $ до $ U/2 $.

Теперь рассмотрим напряженность электрического поля в каждом промежутке. В начальном состоянии поле было однородным во всем пространстве между обкладками 1 и 4, и его напряженность была равна:

$ E = \frac{U}{3d} $

После соединения пластин 2 и 3 напряженности полей в промежутках станут:

В промежутке 1-2: $ E'_{12} = \frac{U'_{12}}{d} = \frac{U/2}{d} = \frac{U}{2d} $

В промежутке 2-3: $ E'_{23} = \frac{\phi'_3 - \phi'_2}{d} = \frac{U/2 - U/2}{d} = 0 $ (внутри проводника поле равно нулю)

В промежутке 3-4: $ E'_{34} = \frac{U'_{34}}{d} = \frac{U/2}{d} = \frac{U}{2d} $

Ответ: Потенциалы пластин 2 и 3 станут равными $ U/2 $. Напряженность поля в промежутках 1-2 и 3-4 увеличится с $ U/(3d) $ до $ U/(2d) $. Напряженность поля в промежутке 2-3 станет равной нулю.

3) Найдем общую емкость конденсатора до и после соединения пластин.

Начальная емкость $ C_{общ} $ (три конденсатора $ C $ последовательно):

$ \frac{1}{C_{общ}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C} \implies C_{общ} = \frac{C}{3} $

Конечная емкость $ C'_{общ} $ (два конденсатора $ C $ последовательно):

$ \frac{1}{C'_{общ}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C} \implies C'_{общ} = \frac{C}{2} $

Найдем, во сколько раз изменилась емкость:

$ \frac{C'_{общ}}{C_{общ}} = \frac{C/2}{C/3} = \frac{3}{2} = 1.5 $

Емкость увеличится в 1.5 раза.

Теперь проанализируем заряды на обкладках 1 и 4. Заряд на обкладках конденсатора связан с его емкостью и напряжением формулой $ q = C_{общ} U $.

Начальный заряд (по модулю) на обкладках 1 и 4:

$ q = C_{общ} U = \frac{C}{3} U $

Конечный заряд (по модулю) на обкладках 1 и 4:

$ q' = C'_{общ} U = \frac{C}{2} U $

Поскольку $ q' > q $, то заряды на обкладках 1 и 4 изменятся (увеличатся по модулю).

Ответ: Емкость конденсатора увеличится в 1.5 раза. Заряды на обкладках 1 и 4 изменятся (увеличатся по модулю).