Номер 12.74, страница 77 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.74, страница 77.

Условие.

12.74*. Капля ртути, заряженная до потенциала $ \varphi_0 $, распадается на $\text{N}$ одинаковых капель с одинаковыми зарядами, и капли разлетаются на большое расстояние друг от друга. Найдите потенциал $ \varphi $ каждой из образовавшихся капель.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Потенциал исходной капли: $\phi_0$
Количество образовавшихся капель: $\text{N}$

Найти:

Потенциал каждой из образовавшихся капель: $\phi$

Решение:

Будем рассматривать каплю ртути как проводящий шар. Потенциал уединенного проводящего шара радиусом $\text{R}$ с зарядом $\text{Q}$ определяется по формуле:
$\phi = k \frac{Q}{R}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент в законе Кулона.

Для исходной большой капли радиусом $R_0$ и зарядом $Q_0$ ее потенциал равен:
$\phi_0 = k \frac{Q_0}{R_0}$ (1)

После распада большой капли на $\text{N}$ одинаковых маленьких капель, каждая из них будет иметь радиус $\text{r}$ и заряд $\text{q}$. Так как капли разлетаются на большое расстояние, их взаимным влиянием можно пренебречь. Тогда потенциал каждой маленькой капли будет:
$\phi = k \frac{q}{r}$ (2)

При распаде капли выполняются два закона сохранения:

1. Закон сохранения электрического заряда. Суммарный заряд маленьких капель равен заряду исходной большой капли, поскольку капли образовались с одинаковыми зарядами:
$Q_0 = N \cdot q$
Отсюда заряд одной маленькой капли:
$q = \frac{Q_0}{N}$ (3)

2. Закон сохранения объема. Объем исходной капли равен сумме объемов $\text{N}$ маленьких капель, так как ртуть — несжимаемая жидкость. Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$.
$V_0 = N \cdot v$
$\frac{4}{3}\pi R_0^3 = N \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$
$R_0^3 = N \cdot r^3$
Из этого соотношения выразим радиус маленькой капли $\text{r}$ через радиус большой капли $R_0$:
$r^3 = \frac{R_0^3}{N} \implies r = \frac{R_0}{\sqrt[3]{N}} = \frac{R_0}{N^{1/3}}$ (4)

Теперь подставим выражения для заряда $\text{q}$ из (3) и радиуса $\text{r}$ из (4) в формулу для потенциала маленькой капли (2):
$\phi = k \frac{q}{r} = k \frac{Q_0/N}{R_0/N^{1/3}} = k \frac{Q_0}{R_0} \cdot \frac{N^{1/3}}{N}$

Упростим выражение, используя свойства степеней $\frac{N^{1/3}}{N} = N^{1/3 - 1} = N^{-2/3}$:
$\phi = k \frac{Q_0}{R_0} \cdot N^{-2/3}$

Заметим, что множитель $k \frac{Q_0}{R_0}$ согласно формуле (1) является исходным потенциалом $\phi_0$. Таким образом, получаем окончательное выражение для потенциала $\phi$:
$\phi = \phi_0 \cdot N^{-2/3} = \frac{\phi_0}{N^{2/3}} = \frac{\phi_0}{\sqrt[3]{N^2}}$

Ответ: Потенциал каждой из образовавшихся капель равен $\phi = \phi_0 \cdot N^{-2/3}$.