Номер 12.73, страница 77 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.73, страница 77.

Условие.

12.73** Какое количество теплоты $\text{Q}$ выделится во всей цепи при переводе ключа из положения 1 в положение 2 (см. рисунок)? Энергией электромагнитного излучения можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Источник ЭДС: $\mathcal{E}$

Емкость каждого из трех конденсаторов: $\text{C}$

Схема электрической цепи (см. рисунок в задаче).

Найти:

Количество теплоты $\text{Q}$, выделившееся в цепи.

Решение:

Выделившееся в цепи количество теплоты $\text{Q}$ можно найти из закона сохранения энергии:

$Q = A_{ист} - \Delta W_{C}$

где $A_{ист}$ – работа, совершенная источником ЭДС, а $\Delta W_{C} = W_{C2} - W_{C1}$ – изменение полной энергии, запасенной в конденсаторах, при переводе ключа из начального положения 1 в конечное положение 2.

1. Начальное состояние (ключ в положении 1).

В положении 1 все три конденсатора подключены параллельно к источнику ЭДС $\mathcal{E}$. Цепь находится в стационарном состоянии. Напряжение на каждом конденсаторе равно $\mathcal{E}$.

Заряд на каждом конденсаторе:

$q = C\mathcal{E}$

Энергия, запасенная в каждом конденсаторе:

$W = \frac{C\mathcal{E}^2}{2}$

Полная начальная энергия, запасенная в трех конденсаторах:

$W_{C1} = 3 \cdot \frac{C\mathcal{E}^2}{2} = \frac{3}{2}C\mathcal{E}^2$

2. Конечное состояние (ключ в положении 2).

При переводе ключа в положение 2 схема цепи изменяется. Будем считать, что схема изменяется следующим образом, что является единственной интерпретацией, приводящей к нетривиальному результату: левый конденсатор (назовем его $C_L$) остается подключенным параллельно источнику, а средний ($C_M$) и правый ($C_R$) конденсаторы оказываются соединенными последовательно друг с другом и подключенными к источнику, причем полярность подключения $C_M$ оказывается обратной полярности его первоначальной зарядки. То есть, верхняя (положительно заряженная) обкладка $C_M$ соединяется с нижней (отрицательно заряженной) обкладкой $C_R$.

Левый конденсатор $C_L$ не меняет своего состояния, его энергия остается $\frac{1}{2}C\mathcal{E}^2$.

Рассмотрим цепь из последовательно соединенных конденсаторов $C_M$ и $C_R$, подключенную к источнику $\mathcal{E}$. Их общая емкость:

$C_{MR} = \frac{C \cdot C}{C+C} = \frac{C}{2}$

В установившемся режиме заряд на этой последовательной паре будет:

$q' = C_{MR}\mathcal{E} = \frac{C\mathcal{E}}{2}$

Напряжение на каждом из этих конденсаторов станет одинаковым:

$U_M' = U_R' = \frac{q'}{C} = \frac{\mathcal{E}}{2}$

Энергия, запасенная в конденсаторах $C_M$ и $C_R$ в конечном состоянии:

$W_M' = W_R' = \frac{C(U')^2}{2} = \frac{C(\mathcal{E}/2)^2}{2} = \frac{C\mathcal{E}^2}{8}$

Полная конечная энергия, запасенная в трех конденсаторах:

$W_{C2} = W_L' + W_M' + W_R' = \frac{C\mathcal{E}^2}{2} + \frac{C\mathcal{E}^2}{8} + \frac{C\mathcal{E}^2}{8} = \frac{4C\mathcal{E}^2 + C\mathcal{E}^2 + C\mathcal{E}^2}{8} = \frac{6C\mathcal{E}^2}{8} = \frac{3}{4}C\mathcal{E}^2$

Изменение энергии конденсаторов:

$\Delta W_C = W_{C2} - W_{C1} = \frac{3}{4}C\mathcal{E}^2 - \frac{3}{2}C\mathcal{E}^2 = -\frac{3}{4}C\mathcal{E}^2$

3. Работа источника.

Работа источника равна произведению ЭДС на заряд, прошедший через источник. Найдем этот заряд.

Через источник протекал ток только в цепи с конденсаторами $C_M$ и $C_R$, так как состояние $C_L$ не изменилось.

Заряд, прошедший через источник, равен изменению заряда на тех обкладках, которые остались подключены к источнику. В новой схеме к положительному полюсу источника подключена верхняя обкладка $C_R$, а к отрицательному – нижняя обкладка $C_M$.

Начальный заряд верхней обкладки $C_R$ был $q_{R,i} = +C\mathcal{E}$. Конечный заряд стал $q_{R,f} = +q' = +C\mathcal{E}/2$.

Изменение заряда на этой обкладке: $\Delta q_R = q_{R,f} - q_{R,i} = C\mathcal{E}/2 - C\mathcal{E} = -C\mathcal{E}/2$.

Этот заряд должен был пройти через источник. Так как изменение отрицательно, заряд $\Delta q = C\mathcal{E}/2$ прошел через источник в обратном направлении (вернулся в источник).

Заряд, прошедший через источник в прямом направлении: $\Delta q_{ист} = -C\mathcal{E}/2$.

Работа источника:

$A_{ист} = \mathcal{E} \cdot \Delta q_{ист} = \mathcal{E} \cdot (-\frac{C\mathcal{E}}{2}) = -\frac{1}{2}C\mathcal{E}^2$

Отрицательное значение работы означает, что внешние силы (внутри цепи) совершили работу над источником, заряжая его.

4. Количество теплоты.

Теперь можем найти выделившееся количество теплоты:

$Q = A_{ист} - \Delta W_C = (-\frac{1}{2}C\mathcal{E}^2) - (-\frac{3}{4}C\mathcal{E}^2) = -\frac{1}{2}C\mathcal{E}^2 + \frac{3}{4}C\mathcal{E}^2 = \frac{1}{4}C\mathcal{E}^2$

Ответ: $Q = \frac{1}{4}C\mathcal{E}^2$.