Номер 12.70, страница 77 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.70, страница 77.

Условие.

12.70*. Заряженный конденсатор заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. Как изменяются заряд конденсатора $\text{q}$, напряжение $\text{U}$, напряженность поля в конденсаторе $\text{E}$, его энергия $\text{W}$, если:

а) конденсатор отключен от батареи;

б) конденсатор подключен к батарее?

Решение.

Решение 2.

Решение

Обозначим начальные параметры конденсатора (до внесения диэлектрика) как $C_0$ (емкость), $q_0$ (заряд), $U_0$ (напряжение), $E_0$ (напряженность поля) и $W_0$ (энергия). При заполнении конденсатора диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$ его емкость увеличивается в $\epsilon$ раз. Новая емкость $\text{C}$ равна $C = \epsilon C_0$. Поскольку для любого диэлектрика $\epsilon > 1$, емкость конденсатора всегда увеличивается. Рассмотрим два случая.

а) конденсатор отключен от батареи

Если конденсатор заряжен и отключен от батареи, он представляет собой электрически изолированную систему. Это означает, что заряд $\text{q}$ на его обкладках сохраняется, так как нет пути для его перетекания. Таким образом, заряд конденсатора не изменится: $q = q_0$.

Напряжение на обкладках конденсатора $\text{U}$ связано с зарядом и емкостью соотношением $U = q/C$. Так как заряд $\text{q}$ остался постоянным ($q_0$), а емкость $\text{C}$ увеличилась в $\epsilon$ раз ($C = \epsilon C_0$), новое напряжение $\text{U}$ будет:

$U = \frac{q_0}{C} = \frac{q_0}{\epsilon C_0} = \frac{1}{\epsilon} U_0$.

Следовательно, напряжение уменьшится в $\epsilon$ раз.

Напряженность электрического поля $\text{E}$ в плоском конденсаторе (пренебрегая краевыми эффектами) связана с напряжением как $E = U/d$, где $\text{d}$ — расстояние между обкладками. Поскольку напряжение $\text{U}$ уменьшилось в $\epsilon$ раз, а расстояние $\text{d}$ не изменилось, напряженность поля также уменьшится в $\epsilon$ раз:

$E = \frac{U}{d} = \frac{U_0/\epsilon}{d} = \frac{1}{\epsilon} \frac{U_0}{d} = \frac{E_0}{\epsilon}$.

Энергия $\text{W}$, запасенная в конденсаторе, в данном случае удобнее всего выразить через заряд и емкость: $W = \frac{q^2}{2C}$. Так как заряд $\text{q}$ не изменился, а емкость $\text{C}$ возросла в $\epsilon$ раз, энергия уменьшится в $\epsilon$ раз:

$W = \frac{q_0^2}{2C} = \frac{q_0^2}{2\epsilon C_0} = \frac{1}{\epsilon} \left(\frac{q_0^2}{2C_0}\right) = \frac{W_0}{\epsilon}$.

Ответ: Заряд $\text{q}$ не изменится, напряжение $\text{U}$ уменьшится в $\epsilon$ раз, напряженность поля $\text{E}$ уменьшится в $\epsilon$ раз, энергия $\text{W}$ уменьшится в $\epsilon$ раз.

б) конденсатор подключен к батарее

Если конденсатор остается подключенным к батарее, то напряжение $\text{U}$ на его обкладках поддерживается постоянным и равным напряжению источника питания. Таким образом, напряжение на конденсаторе не изменится: $U = U_0$.

Заряд на обкладках $\text{q}$ определяется формулой $q = C U$. Поскольку емкость $\text{C}$ увеличилась в $\epsilon$ раз ($C = \epsilon C_0$), а напряжение $\text{U}$ осталось прежним ($U_0$), заряд на обкладках увеличится в $\epsilon$ раз:

$q = C U_0 = (\epsilon C_0) U_0 = \epsilon (C_0 U_0) = \epsilon q_0$.

Дополнительный заряд перейдет на конденсатор от батареи.

Напряженность электрического поля $\text{E}$ в плоском конденсаторе равна $E = U/d$. Так как и напряжение $\text{U}$, и расстояние $\text{d}$ не изменяются, напряженность поля $\text{E}$ останется неизменной: $E = E_0$.

Энергия $\text{W}$, запасенная в конденсаторе, в данном случае удобнее всего выразить через емкость и напряжение: $W = \frac{C U^2}{2}$. Так как емкость $\text{C}$ увеличилась в $\epsilon$ раз, а напряжение $\text{U}$ постоянно, энергия конденсатора увеличится в $\epsilon$ раз:

$W = \frac{C U_0^2}{2} = \frac{(\epsilon C_0) U_0^2}{2} = \epsilon \left(\frac{C_0 U_0^2}{2}\right) = \epsilon W_0$.

Ответ: Заряд $\text{q}$ увеличится в $\epsilon$ раз, напряжение $\text{U}$ не изменится, напряженность поля $\text{E}$ не изменится, энергия $\text{W}$ увеличится в $\epsilon$ раз.