Номер 12.65, страница 76 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.65, страница 76.

Условие.

12.65*. Найдите разность потенциалов $\text{U}$ между точками $\text{A}$ и $\text{B}$ (см. рисунок), если $U_0 = 80\text{ В}$. Емкости конденсаторов: $C_1 = 1\text{ мкФ}$, $C_2 = 2\text{ мкФ}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$U_0 = 80 \text{ В}$

$C_1 = 1 \text{ мкФ} = 1 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$C_2 = 2 \text{ мкФ} = 2 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

$\text{U}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом узловых потенциалов. Примем потенциал нижней шины, к которой подключена точка B, равным нулю: $\phi_B = 0$. Тогда потенциал верхней входной клеммы будет равен $U_0$. Искомая разность потенциалов $\text{U}$ между точками A и B равна $U = \phi_A - \phi_B = \phi_A$.

Обозначим потенциал узла, расположенного между двумя конденсаторами $C_2$, как $\phi_D$.

Для каждого из изолированных узлов (D и A) сумма зарядов на подключенных к нему обкладках конденсаторов должна быть равна нулю (согласно закону сохранения заряда).

Для узла D, к которому подключены три конденсатора (левый $C_2$, средний $C_1$ и правый $C_2$):

$C_2(\phi_D - U_0) + C_1(\phi_D - \phi_B) + C_2(\phi_D - \phi_A) = 0$

Учитывая, что $\phi_B = 0$, получаем:

$C_2\phi_D - C_2U_0 + C_1\phi_D + C_2\phi_D - C_2\phi_A = 0$

$(2C_2 + C_1)\phi_D - C_2\phi_A = C_2U_0 \quad (1)$

Для узла A, к которому подключены три конденсатора (правый $C_2$ и два конденсатора $C_1$):

$C_2(\phi_A - \phi_D) + C_1(\phi_A - \phi_B) + C_1(\phi_A - \phi_B) = 0$

Учитывая, что $\phi_B = 0$, получаем:

$C_2\phi_A - C_2\phi_D + 2C_1\phi_A = 0$

$(C_2 + 2C_1)\phi_A - C_2\phi_D = 0 \quad (2)$

Мы получили систему из двух линейных уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\phi_A$ и $\phi_D$. Нам нужно найти $\phi_A$.

Из уравнения (2) выразим $\phi_D$:

$C_2\phi_D = (C_2 + 2C_1)\phi_A \implies \phi_D = \frac{C_2 + 2C_1}{C_2}\phi_A$

Подставим это выражение для $\phi_D$ в уравнение (1):

$(2C_2 + C_1)\left(\frac{C_2 + 2C_1}{C_2}\phi_A\right) - C_2\phi_A = C_2U_0$

Вынесем $\phi_A$ за скобки:

$\phi_A \left[ \frac{(2C_2 + C_1)(C_2 + 2C_1)}{C_2} - C_2 \right] = C_2U_0$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$\phi_A \left[ \frac{(2C_2 + C_1)(C_2 + 2C_1) - C_2^2}{C_2} \right] = C_2U_0$

Раскроем скобки в числителе:

$\phi_A \left[ \frac{2C_2^2 + 4C_1C_2 + C_1C_2 + 2C_1^2 - C_2^2}{C_2} \right] = C_2U_0$

$\phi_A \left[ \frac{C_2^2 + 5C_1C_2 + 2C_1^2}{C_2} \right] = C_2U_0$

Выразим $\phi_A$:

$\phi_A = \frac{C_2^2}{C_2^2 + 5C_1C_2 + 2C_1^2} U_0$

Поскольку $U = \phi_A$, подставим числовые значения. Заметим, что единицы измерения емкости (мкФ) в дроби сократятся, поэтому можно подставлять значения 1 и 2.

$U = \frac{2^2}{2^2 + 5 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1^2} \cdot 80 \text{ В} = \frac{4}{4 + 10 + 2} \cdot 80 \text{ В}$

$U = \frac{4}{16} \cdot 80 \text{ В} = \frac{1}{4} \cdot 80 \text{ В} = 20 \text{ В}$

Ответ: $20 \text{ В}$.