Номер 12.62, страница 76 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.62, страница 76.

Условие.

12.62*. Три источника ЭДС и три конденсатора соединены так, как показано на рисунке. Найдите напряжение $\text{U}$ на каждом из конденсаторов, если $\mathcal{E}_1 = 300\text{ В}$, $\mathcal{E}_2 = 150\text{ В}$, $\mathcal{E}_3 = 100\text{ В}$, $C_1 = 15\text{ мкФ}$, $C_2 = 10\text{ мкФ}$, $C_3 = 5\text{ мкФ}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$E_1 = 300 \text{ В}$

$E_2 = 150 \text{ В}$

$E_3 = 100 \text{ В}$

$C_1 = 15 \text{ мкФ}$

$C_2 = 10 \text{ мкФ}$

$C_3 = 5 \text{ мкФ}$

$C_1 = 15 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$C_2 = 10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$
$C_3 = 5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

Найти:

$U_1, U_2, U_3$

Решение:

В установившемся режиме ток в цепи постоянного тока, содержащей конденсаторы, не течет. Конденсаторы заряжены, и цепь представляет собой один замкнутый контур. Для такого контура можно применить второе правило Кирхгофа (правило контуров), согласно которому алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре равна алгебраической сумме падений напряжений на элементах контура.

Поскольку все три конденсатора соединены последовательно, заряд $\text{q}$ на каждом из них будет одинаковым по модулю. Предположим, что обход контура совершается по часовой стрелке, и что заряд $\text{q}$ протек по часовой стрелке. Тогда пластины конденсаторов зарядятся следующим образом:

• $C_1$: верхняя пластина $+q$, нижняя $-q$.
• $C_2$: левая пластина $+q$, правая $-q$.
• $C_3$: верхняя пластина $+q$, нижняя $-q$.

Запишем второе правило Кирхгофа для обхода контура по часовой стрелке, начиная с левого нижнего угла. При переходе через источник от отрицательного полюса к положительному ЭДС берется со знаком «+», в обратном направлении — со знаком «-». При переходе через конденсатор от отрицательно заряженной пластины к положительной напряжение берется со знаком «+», в обратном направлении — со знаком «-».

Уравнение для контура будет выглядеть так:

$E_1 + \frac{q}{C_1} - E_2 - \frac{q}{C_2} - E_3 - \frac{q}{C_3} = 0$

Выразим из этого уравнения заряд $\text{q}$:

$E_1 - E_2 - E_3 = q \cdot (\frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} - \frac{1}{C_1})$

$q = \frac{E_1 - E_2 - E_3}{\frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} - \frac{1}{C_1}}$

Подставим числовые значения:

$E_1 - E_2 - E_3 = 300 - 150 - 100 = 50 \text{ В}$

$\frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} - \frac{1}{C_1} = \frac{1}{10 \cdot 10^{-6}} + \frac{1}{5 \cdot 10^{-6}} - \frac{1}{15 \cdot 10^{-6}} = 10^5 \cdot (\frac{1}{10} + \frac{1}{5} - \frac{1}{15}) = 10^5 \cdot (\frac{3+6-2}{30}) = 10^5 \cdot \frac{7}{30} \text{ Ф}^{-1}$

$q = \frac{50}{10^5 \cdot \frac{7}{30}} = \frac{50 \cdot 30}{7 \cdot 10^5} = \frac{1500}{7} \cdot 10^{-5} \text{ Кл} \approx 2.14 \cdot 10^{-4} \text{ Кл}$

Теперь найдем напряжение на каждом конденсаторе по формуле $U = \frac{q}{C}$. Так как напряжение по определению является положительной величиной, используем модуль заряда $U = \frac{|q|}{C}$. В нашем случае $q > 0$.

Напряжение на первом конденсаторе:

$U_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{\frac{1500}{7} \cdot 10^{-5} \text{ Кл}}{15 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1500 \cdot 10}{7 \cdot 15} \text{ В} = \frac{1000}{7} \text{ В} \approx 143 \text{ В}$

Напряжение на втором конденсаторе:

$U_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{\frac{1500}{7} \cdot 10^{-5} \text{ Кл}}{10 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1500 \cdot 10}{7 \cdot 10} \text{ В} = \frac{1500}{7} \text{ В} \approx 214 \text{ В}$

Напряжение на третьем конденсаторе:

$U_3 = \frac{q}{C_3} = \frac{\frac{1500}{7} \cdot 10^{-5} \text{ Кл}}{5 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}} = \frac{1500 \cdot 10}{7 \cdot 5} \text{ В} = \frac{3000}{7} \text{ В} \approx 429 \text{ В}$

Проверим расчеты. Похоже, в вычислении q была допущена ошибка в степени 10. Пересчитаем:

$\frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} - \frac{1}{C_1} = \frac{1}{10 \text{ мкФ}} + \frac{1}{5 \text{ мкФ}} - \frac{1}{15 \text{ мкФ}} = (\frac{3+6-2}{30}) \frac{1}{\text{мкФ}} = \frac{7}{30} \frac{1}{\text{мкФ}}$

$q = \frac{50 \text{ В}}{\frac{7}{30} (\text{мкФ})^{-1}} = \frac{50 \cdot 30}{7} \text{ мкКл} = \frac{1500}{7} \text{ мкКл}$

$U_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{\frac{1500}{7} \text{ мкКл}}{15 \text{ мкФ}} = \frac{1500}{7 \cdot 15} \text{ В} = \frac{100}{7} \text{ В} \approx 14.3 \text{ В}$

$U_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{\frac{1500}{7} \text{ мкКл}}{10 \text{ мкФ}} = \frac{1500}{7 \cdot 10} \text{ В} = \frac{150}{7} \text{ В} \approx 21.4 \text{ В}$

$U_3 = \frac{q}{C_3} = \frac{\frac{1500}{7} \text{ мкКл}}{5 \text{ мкФ}} = \frac{1500}{7 \cdot 5} \text{ В} = \frac{300}{7} \text{ В} \approx 42.9 \text{ В}$

Ответ:

Напряжение на конденсаторе $C_1$ равно $U_1 = \frac{100}{7} \text{ В} \approx 14.3 \text{ В}$.

Напряжение на конденсаторе $C_2$ равно $U_2 = \frac{150}{7} \text{ В} \approx 21.4 \text{ В}$.

Напряжение на конденсаторе $C_3$ равно $U_3 = \frac{300}{7} \text{ В} \approx 42.9 \text{ В}$.