Номер 12.67, страница 76 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.67, страница 76.

Условие.

12.67*. Решите задачу 12.66 для случаев б, в, заменив диэлектрик на проводник.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Площадь пластин конденсатора, $S = 100 \text{ см}^2$
Расстояние между пластинами, $d = 5 \text{ мм}$
Начальная разность потенциалов, $U_0 = 300 \text{ В}$
Конденсатор отключен от источника.

$S = 100 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 10^{-2} \text{ м}^2$
$d = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}$
$U_0 = 300 \text{ В}$

Найти:

$A_б$ — работу для случая б;
$A_в$ — работу для случая в.

Решение:

Работа, которую необходимо совершить внешним силам при введении пластинки в конденсатор, равна изменению электростатической энергии конденсатора, так как он отключен от источника питания.

$A = W_{кон} - W_{нач}$

Сначала определим начальные параметры конденсатора.Начальная ёмкость воздушного конденсатора:

$C_0 = \frac{\epsilon_0 S}{d}$

где $\epsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$ — электрическая постоянная.

$C_0 = \frac{8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м} \cdot 10^{-2} \text{ м}^2}{5 \cdot 10^{-3} \text{ м}} \approx 1.77 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}$

Заряд на пластинах конденсатора, который остаётся постоянным в течение всего процесса:

$Q = C_0 U_0 = 1.77 \cdot 10^{-11} \text{ Ф} \cdot 300 \text{ В} \approx 5.31 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Начальная энергия, запасённая в конденсаторе:

$W_{нач} = W_0 = \frac{1}{2} C_0 U_0^2 = \frac{1}{2} (1.77 \cdot 10^{-11} \text{ Ф}) \cdot (300 \text{ В})^2 \approx 7.97 \cdot 10^{-7} \text{ Дж}$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

б) Между пластинами вводят проводящую пластинку толщиной $a=2 \text{ мм}$ параллельно обкладкам.

Когда в конденсатор вводится проводящая пластинка, электрическое поле внутри неё становится равным нулю. Система эквивалентна двум последовательно соединённым воздушным конденсаторам, суммарное расстояние между обкладками которых равно $d-a$. Таким образом, ёмкость системы становится:

$C_б = \frac{\epsilon_0 S}{d-a}$

Конечная энергия конденсатора:

$W_б = \frac{Q^2}{2 C_б} = \frac{Q^2 (d-a)}{2 \epsilon_0 S}$

Выразим конечную энергию через начальную:

$W_0 = \frac{Q^2}{2 C_0} = \frac{Q^2 d}{2 \epsilon_0 S} \implies \frac{Q^2}{2 \epsilon_0 S} = \frac{W_0}{d}$

$W_б = \frac{W_0}{d} (d-a) = W_0 \frac{d-a}{d}$

Работа, совершаемая внешней силой:

$A_б = W_б - W_0 = W_0 \frac{d-a}{d} - W_0 = W_0 \left(\frac{d-a}{d} - 1\right) = -W_0 \frac{a}{d}$

Подставим числовые значения:

$A_б = - (7.97 \cdot 10^{-7} \text{ Дж}) \cdot \frac{2 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{5 \cdot 10^{-3} \text{ м}} = - (7.97 \cdot 10^{-7} \text{ Дж}) \cdot 0.4 \approx -3.2 \cdot 10^{-7} \text{ Дж}$

Отрицательный знак означает, что электрическое поле втягивает пластину в конденсатор, а внешняя сила должна совершать отрицательную работу (препятствовать движению), чтобы введение было медленным.

Ответ: $A_б = -3.2 \cdot 10^{-7} \text{ Дж} = -0.32 \text{ мкДж}$.

в) Между пластинами вводят проводящую пластинку толщиной $a=5 \text{ мм}$ ($a=d$), которая заполняет половину объема между обкладками.

В этом случае проводящая пластинка, имеющая толщину, равную расстоянию между обкладками конденсатора ($a=d$), вводится сбоку и заполняет половину пространства. Это означает, что пластинка касается обеих обкладок конденсатора на половине их площади.

В результате обкладки конденсатора оказываются соединены проводником (замкнуты накоротко). Заряд, находившийся на пластинах, стекает через проводящую пластинку и нейтрализуется. Разность потенциалов между пластинами становится равной нулю.

$U_{кон} = 0$

Следовательно, конечная энергия, запасённая в конденсаторе, также равна нулю:

$W_в = 0$

Работа, совершаемая внешней силой, равна изменению энергии:

$A_в = W_в - W_0 = 0 - W_0 = -W_0$

Подставим числовое значение начальной энергии:

$A_в = -7.97 \cdot 10^{-7} \text{ Дж} \approx -8.0 \cdot 10^{-7} \text{ Дж}$

Вся начальная энергия конденсатора выделяется в виде тепла при протекании тока через проводящую пластинку.

Ответ: $A_в = -8.0 \cdot 10^{-7} \text{ Дж} = -0.80 \text{ мкДж}$.