Номер 12.72, страница 77 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.72, страница 77.

Условие.

12.72. В каком случае придется совершить большую работу при раздвигании пластин плоского конденсатора:

а) конденсатор после зарядки отключен от источника;

б) конденсатор остается подключенным к источнику напряжения?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Плоский конденсатор
Начальное расстояние между пластинами: $d_1$
Конечное расстояние между пластинами: $d_2$ ($d_2 > d_1$)
Начальное напряжение: $\text{U}$

Найти:

В каком случае работа по раздвиганию пластин $\text{A}$ будет больше:
а) $A_a$ - конденсатор отключен от источника
б) $A_b$ - конденсатор подключен к источнику

Решение:

Работа, совершаемая внешней силой при раздвигании пластин конденсатора, идет на изменение энергии системы.
Введем обозначения: $\text{S}$ – площадь пластин, $\epsilon_0$ – диэлектрическая проницаемость вакуума.
Начальная ёмкость конденсатора: $C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{d_1}$.
Конечная ёмкость: $C_2 = \frac{\epsilon_0 S}{d_2}$.
Поскольку $d_2 > d_1$, то $C_2 < C_1$.
Начальная энергия конденсатора в обоих случаях одинакова: $W_1 = \frac{C_1 U^2}{2}$.
Начальный заряд на пластинах также одинаков: $q_1 = C_1 U$.

а) конденсатор после зарядки отключен от источника

В этом случае конденсатор представляет собой изолированную систему, поэтому заряд на его пластинах остается постоянным: $q = q_1 = C_1 U = \text{const}$.
Энергия конденсатора в конечном состоянии: $W_{2a} = \frac{q^2}{2C_2}$.
Поскольку источник отключен, работа внешней силы $A_a$ равна изменению энергии конденсатора:
$A_a = \Delta W_a = W_{2a} - W_1 = \frac{q^2}{2C_2} - \frac{q^2}{2C_1} = \frac{q^2}{2} \left( \frac{1}{C_2} - \frac{1}{C_1} \right)$.
Так как $C_2 < C_1$, то $\frac{1}{C_2} > \frac{1}{C_1}$, следовательно, $A_a > 0$.
Подставим $q = C_1 U$:
$A_a = \frac{(C_1 U)^2}{2} \left( \frac{1}{C_2} - \frac{1}{C_1} \right)$.

б) конденсатор остается подключенным к источнику напряжения

В этом случае напряжение на конденсаторе остается постоянным и равным напряжению источника: $U = \text{const}$.
Энергия конденсатора в конечном состоянии: $W_{2b} = \frac{C_2 U^2}{2}$.
Изменение энергии конденсатора: $\Delta W_b = W_{2b} - W_1 = \frac{C_2 U^2}{2} - \frac{C_1 U^2}{2} = \frac{U^2}{2} (C_2 - C_1)$.
Так как $C_2 < C_1$, то $\Delta W_b < 0$, то есть энергия конденсатора уменьшается.
При изменении ёмкости изменяется и заряд на пластинах: $q_2 = C_2 U$. Изменение заряда $\Delta q = q_2 - q_1 = (C_2 - C_1)U$. Так как $C_2 < C_1$, заряд $\Delta q$ отрицателен, что означает, что часть заряда возвращается от конденсатора к источнику.
При этом источник совершает работу $A_{ист} = \Delta q \cdot U = (C_2 - C_1)U^2$. Эта работа отрицательна (энергия возвращается в источник).
Работа внешней силы $A_b$ по закону сохранения энергии равна изменению энергии конденсатора за вычетом работы, совершенной источником: $A_b = \Delta W_b - A_{ист}$.
$A_b = \frac{U^2}{2} (C_2 - C_1) - (C_2 - C_1)U^2 = -\frac{U^2}{2} (C_2 - C_1) = \frac{U^2}{2} (C_1 - C_2)$.

Сравним полученные выражения для работ $A_a$ и $A_b$.
$A_a = \frac{C_1^2 U^2}{2} \left( \frac{1}{C_2} - \frac{1}{C_1} \right) = \frac{C_1^2 U^2}{2} \frac{C_1 - C_2}{C_1 C_2} = \frac{U^2}{2} \frac{C_1}{C_2} (C_1 - C_2)$.
$A_b = \frac{U^2}{2} (C_1 - C_2)$.
Найдем отношение работ:
$\frac{A_a}{A_b} = \frac{\frac{U^2}{2} \frac{C_1}{C_2} (C_1 - C_2)}{\frac{U^2}{2} (C_1 - C_2)} = \frac{C_1}{C_2}$.
Поскольку $C_1 = \frac{\epsilon_0 S}{d_1}$ и $C_2 = \frac{\epsilon_0 S}{d_2}$, то отношение ёмкостей равно $\frac{C_1}{C_2} = \frac{d_2}{d_1}$.
Так как пластины раздвигают, $d_2 > d_1$, следовательно, $\frac{C_1}{C_2} > 1$.
Таким образом, $A_a > A_b$.

Альтернативное объяснение можно дать, сравнивая силы притяжения между пластинами.
В случае а) заряд $\text{q}$ постоянен, и сила притяжения $F_a = \frac{q^2}{2\epsilon_0 S}$ также постоянна.
В случае б) напряжение $\text{U}$ постоянно, и сила притяжения зависит от расстояния $\text{d}$: $F_b(d) = \frac{\epsilon_0 S U^2}{2d^2}$.
В начальный момент ($d=d_1$) силы равны, так как $q = C_1 U = \frac{\epsilon_0 S U}{d_1}$. При раздвигании пластин ($d>d_1$) сила $F_b$ уменьшается, в то время как сила $F_a$ остается неизменной. Так как для совершения работы нужно преодолевать силу, которая в случае а) на всем пути (кроме начальной точки) больше, чем в случае б), то и работа $A_a$ будет больше, чем $A_b$.

Ответ: большую работу придется совершить в случае а), когда конденсатор после зарядки отключен от источника.