Номер 12.76, страница 78 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.76, страница 78.

Условие.

12.76*. Четыре одинаковых шарика с одинаковыми одноименными зарядами $\text{q}$ (см. рисунок) связаны одинаковыми нерастяжимыми нитями. Докажите, что равновесие достигается, когда шарики располагаются в вершинах квадрата.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Четыре одинаковых шарика с одинаковыми одноименными зарядами $\text{q}$.

Шарики связаны четырьмя одинаковыми нерастяжимыми нитями.

Система находится в равновесии.

Найти:

Доказать, что равновесие достигается, когда шарики располагаются в вершинах квадрата.

Решение:

Поскольку все четыре шарика соединены четырьмя одинаковыми нерастяжимыми нитями, то в положении равновесия они образуют фигуру с четырьмя равными сторонами, то есть ромб. Обозначим длину стороны ромба (длину нити) как $\text{l}$.

Для того чтобы система находилась в равновесии, необходимо, чтобы на каждый шарик действовала нулевая результирующая сила. Рассмотрим силы, действующие на один из шариков. В силу симметрии задачи, если мы докажем, что условия равновесия для вершин с разными углами могут выполняться одновременно только в случае квадрата, то доказательство будет завершено.

Пусть у ромба есть два острых угла $\alpha$ и два тупых угла $\beta$, причем $\alpha + \beta = 180^\circ$.

1. Рассмотрим равновесие шарика в вершине с острым углом $\alpha$.

На этот шарик действуют:

• Силы кулоновского отталкивания $F_{side}$ от двух соседних шариков. Модуль каждой силы равен $F_{side} = k \frac{q^2}{l^2}$.
• Сила кулоновского отталкивания $F_{diag,1}$ от противоположного шарика, находящегося на расстоянии большой диагонали $d_1 = 2l \sin(\alpha/2)$. Модуль этой силы равен $F_{diag,1} = k \frac{q^2}{d_1^2} = k \frac{q^2}{4l^2 \sin^2(\alpha/2)}$.
• Силы натяжения нитей $\text{T}$ от двух соседних шариков. В силу симметрии они одинаковы.

Равнодействующая сил отталкивания от соседних шариков направлена вдоль большой диагонали и равна по модулю $2 F_{side} \cos(\alpha/2)$. Равнодействующая сил натяжения нитей также направлена вдоль большой диагонали (к центру) и равна $2T \cos(\alpha/2)$. Сила $F_{diag,1}$ также направлена вдоль этой диагонали. Условие равновесия в проекции на большую диагональ:

$2 F_{side} \cos(\alpha/2) + F_{diag,1} = 2T \cos(\alpha/2)$

$2 k \frac{q^2}{l^2} \cos(\alpha/2) + k \frac{q^2}{4l^2 \sin^2(\alpha/2)} = 2T \cos(\alpha/2)$

Отсюда выразим силу натяжения $\text{T}$:

$T = k \frac{q^2}{l^2} + \frac{k q^2}{8l^2 \sin^2(\alpha/2) \cos(\alpha/2)}$ (1)

2. Рассмотрим равновесие шарика в вершине с тупым углом $\beta$.

Аналогично, на этот шарик действуют силы отталкивания от соседних и противоположного шариков, а также силы натяжения нитей $\text{T}$. Сила натяжения во всех нитях одинакова, так как нити одинаковые и система симметрична.

Расстояние до противоположного шарика равно малой диагонали $d_2 = 2l \cos(\alpha/2)$. Сила отталкивания $F_{diag,2} = k \frac{q^2}{d_2^2} = k \frac{q^2}{4l^2 \cos^2(\alpha/2)}$.

Угол при этой вершине $\beta = 180^\circ - \alpha$. Условие равновесия в проекции на малую диагональ:

$2 F_{side} \cos(\beta/2) + F_{diag,2} = 2T \cos(\beta/2)$

Используя $\cos(\beta/2) = \cos(90^\circ - \alpha/2) = \sin(\alpha/2)$, получаем:

$2 k \frac{q^2}{l^2} \sin(\alpha/2) + k \frac{q^2}{4l^2 \cos^2(\alpha/2)} = 2T \sin(\alpha/2)$

Выразим силу натяжения $\text{T}$ из этого условия:

$T = k \frac{q^2}{l^2} + \frac{k q^2}{8l^2 \cos^2(\alpha/2) \sin(\alpha/2)}$ (2)

3. Поиск решения.

Поскольку система находится в равновесии, сила натяжения $\text{T}$ должна быть одинаковой во всех нитях. Приравняем правые части уравнений (1) и (2):

$k \frac{q^2}{l^2} + \frac{k q^2}{8l^2 \sin^2(\alpha/2) \cos(\alpha/2)} = k \frac{q^2}{l^2} + \frac{k q^2}{8l^2 \cos^2(\alpha/2) \sin(\alpha/2)}$

Сократив одинаковые слагаемые и константы, получим:

$\frac{1}{\sin^2(\alpha/2) \cos(\alpha/2)} = \frac{1}{\cos^2(\alpha/2) \sin(\alpha/2)}$

Поскольку для ромба $\alpha \in (0, 180^\circ)$, то $\sin(\alpha/2) \neq 0$ и $\cos(\alpha/2) \neq 0$. Мы можем умножить обе части на $\sin^2(\alpha/2) \cos^2(\alpha/2) \sin(\alpha/2) \cos(\alpha/2)$:

$\cos(\alpha/2) = \sin(\alpha/2)$

Это равенство в интервале $\alpha/2 \in (0, 90^\circ)$ выполняется только при $\alpha/2 = 45^\circ$.

Следовательно, $\alpha = 90^\circ$.

Ромб, у которого углы равны $90^\circ$, является квадратом. Таким образом, равновесие системы возможно только в том случае, когда шарики располагаются в вершинах квадрата.

Ответ: Условие равновесия для всех четырех шариков одновременно может быть выполнено только в том случае, если острый угол ромба $\alpha = 90^\circ$. Это означает, что фигура, образованная шариками, является квадратом, что и требовалось доказать.