Номер 12.83, страница 79 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.83, страница 79.

Условие.

12.83. Пучок электронов, разогнанных напряжением $U_1 = 5,0$ кВ, влетает в плоский конденсатор посередине между пластинами и параллельно им. Длина конденсатора $l = 10$ см, расстояние между пластинами $d = 10$ мм. При каком наименьшем напряжении $U_2$ на конденсаторе электроны не будут вылетать из него?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$U_1 = 5,0$ кВ = $5,0 \cdot 10^3$ В

$l = 10$ см = $0,1$ м

$d = 10$ мм = $0,01$ м

Найти:

$U_2$

Решение:

1. Найдем начальную скорость $v_x$, с которой электрон влетает в конденсатор. Эту скорость электрон приобретает, пройдя ускоряющую разность потенциалов $U_1$. По теореме о кинетической энергии, работа электрического поля равна изменению кинетической энергии электрона:

$eU_1 = \frac{mv_x^2}{2}$

где $\text{e}$ – модуль заряда электрона, $\text{m}$ – масса электрона. Отсюда выразим квадрат скорости:

$v_x^2 = \frac{2eU_1}{m}$

2. Внутри конденсатора на электрон действует электрическое поле, направленное перпендикулярно его начальной скорости (по оси Y). Горизонтальная составляющая скорости $v_x$ остается постоянной. Движение вдоль оси X (вдоль пластин) равномерное. Время, за которое электрон пролетает конденсатор длиной $\text{l}$, равно:

$t = \frac{l}{v_x}$

3. В вертикальном направлении (ось Y) на электрон действует сила $F_y = eE$, где $E = \frac{U_2}{d}$ – напряженность электрического поля в конденсаторе. Эта сила сообщает электрону ускорение:

$a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{eE}{m} = \frac{eU_2}{md}$

Движение по оси Y является равноускоренным без начальной скорости ($v_{0y} = 0$). Смещение по вертикали за время $\text{t}$ определяется формулой:

$y = \frac{a_y t^2}{2}$

4. Электрон не вылетит из конденсатора, если его смещение по вертикали достигнет половины расстояния между пластинами ($y = d/2$), прежде чем он пролетит всю длину конденсатора ($x \leq l$). Наименьшему напряжению $U_2$ соответствует случай, когда электрон попадает на край пластины, то есть его смещение $\text{y}$ становится равным $d/2$ за время пролета всей длины конденсатора $t = l/v_x$.

Подставим выражения для $a_y$ и $\text{t}$ в формулу для смещения $\text{y}$:

$\frac{d}{2} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{eU_2}{md}\right) \cdot \left(\frac{l}{v_x}\right)^2 = \frac{eU_2l^2}{2mdv_x^2}$

5. Выразим из этого уравнения искомое напряжение $U_2$:

$d = \frac{eU_2l^2}{mdv_x^2} \implies U_2 = \frac{md^2v_x^2}{el^2}$

Теперь подставим выражение для $v_x^2 = \frac{2eU_1}{m}$:

$U_2 = \frac{md^2}{el^2} \cdot \frac{2eU_1}{m} = 2U_1 \frac{d^2}{l^2}$

6. Подставим числовые значения:

$U_2 = 2 \cdot (5,0 \cdot 10^3 \text{ В}) \cdot \left(\frac{0,01 \text{ м}}{0,1 \text{ м}}\right)^2 = 10 \cdot 10^3 \text{ В} \cdot (0,1)^2 = 10^4 \text{ В} \cdot 0,01 = 100$ В

Ответ: $U_2 = 100$ В.