Номер 12.81, страница 78 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.81, страница 78.

Условие.

12.81*. В плоский конденсатор длиной $l = 5,0 \text{ см}$ влетает электрон под углом $\alpha = 15^\circ$ к пластинам. Энергия электрона $W = 1500 \text{ эВ}$, расстояние между пластинами $d = 10 \text{ мм}$. При каком напряжении $\text{U}$ на конденсаторе электрон вылетит параллельно пластинам конденсатора? Каким будет ответ, если длину конденсатора увеличить до $10 \text{ см}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$l_1 = 5,0 \text{ см}$

$\alpha = 15^\circ$

$W = 1500 \text{ эВ}$

$d = 10 \text{ мм}$

$l_2 = 10 \text{ см}$

$e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$ (заряд электрона)

Перевод в систему СИ:

$l_1 = 0,05 \text{ м}$

$W = 1500 \text{ эВ} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \frac{\text{Дж}}{\text{эВ}} = 2,4 \cdot 10^{-16} \text{ Дж}$

$d = 0,01 \text{ м}$

$l_2 = 0,1 \text{ м}$

Найти:

$U_1$ - напряжение на конденсаторе длиной $l_1$.

$U_2$ - напряжение на конденсаторе длиной $l_2$.

Решение:

Движение электрона в однородном электрическом поле конденсатора аналогично движению тела, брошенного под углом к горизонту. Введем систему координат: ось OX направим параллельно пластинам, а ось OY - перпендикулярно им.

Начальная скорость электрона $v_0$ связана с его кинетической энергией $\text{W}$ соотношением: $W = \frac{mv_0^2}{2}$. Отсюда $mv_0^2 = 2W$.

Проекции начальной скорости на оси координат:

$v_{0x} = v_0 \cos\alpha$

$v_{0y} = v_0 \sin\alpha$

Вдоль оси OX движение равномерное, так как силы в этом направлении отсутствуют (пренебрегая краевыми эффектами):

$x(t) = v_{0x}t = (v_0 \cos\alpha)t$

Вдоль оси OY на электрон действует постоянная электрическая сила $F_y = eE$, где $E = U/d$ - напряженность поля. Эта сила сообщает электрону ускорение $a_y = \frac{F_y}{m} = \frac{eE}{m} = \frac{eU}{md}$. Чтобы электрон на вылете двигался параллельно пластинам, его вертикальная составляющая скорости $v_y$ должна стать равной нулю. Это значит, что ускорение $a_y$ должно быть направлено против начальной скорости $v_{0y}$.

Вертикальная составляющая скорости изменяется по закону:

$v_y(t) = v_{0y} - a_yt = v_0 \sin\alpha - \frac{eU}{md}t$

Электрон находится в конденсаторе в течение времени $t_{вых}$, за которое он проходит расстояние $\text{l}$ вдоль оси OX:

$l = (v_0 \cos\alpha)t_{вых} \implies t_{вых} = \frac{l}{v_0 \cos\alpha}$

Условие вылета параллельно пластинам: $v_y(t_{вых}) = 0$.

$v_0 \sin\alpha - \frac{eU}{md} t_{вых} = 0$

Подставим выражение для $t_{вых}$:

$v_0 \sin\alpha - \frac{eU}{md} \frac{l}{v_0 \cos\alpha} = 0 \implies v_0 \sin\alpha = \frac{eUl}{md v_0 \cos\alpha}$

Выразим напряжение $\text{U}$:

$U = \frac{m v_0^2 d \sin\alpha \cos\alpha}{el}$

Используя $mv_0^2 = 2W$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, получаем:

$U = \frac{2Wd (\frac{1}{2}\sin(2\alpha))}{el} = \frac{Wd\sin(2\alpha)}{el}$

Поскольку энергия $\text{W}$ дана в электрон-вольтах ($W = W_{эВ} \cdot e$), формулу можно упростить:

$U = \frac{(W_{эВ} \cdot e)d\sin(2\alpha)}{el} = \frac{W_{эВ} \cdot d\sin(2\alpha)}{l}$

Этот результат верен только в том случае, если электрон не столкнется с пластиной. Вертикальное смещение электрона за время полета $\Delta y$ должно быть меньше расстояния между пластинами $\text{d}$.

$\Delta y = \frac{v_{0y} + v_y(t_{вых})}{2}t_{вых} = \frac{v_0\sin\alpha + 0}{2} \cdot \frac{l}{v_0\cos\alpha} = \frac{l}{2}\tan\alpha$.

Таким образом, должно выполняться условие $\frac{l}{2}\tan\alpha < d$.

При каком напряжении U на конденсаторе электрон вылетит параллельно пластинам конденсатора?

Рассмотрим случай с длиной $l_1 = 5,0 \text{ см} = 0,05 \text{ м}$.

Сначала проверим, возможен ли такой полет:

$\Delta y_1 = \frac{l_1}{2}\tan\alpha = \frac{0,05 \text{ м}}{2} \tan(15^\circ) \approx 0,025 \cdot 0,268 = 0,0067 \text{ м}$.

Поскольку $\Delta y_1 = 0,0067 \text{ м} < d = 0,01 \text{ м}$, электрон не столкнется с пластиной, и такой полет возможен.

Теперь рассчитаем искомое напряжение $U_1$:

$U_1 = \frac{W_{эВ} \cdot d \cdot \sin(2\alpha)}{l_1} = \frac{1500 \text{ В} \cdot 0,01 \text{ м} \cdot \sin(2 \cdot 15^\circ)}{0,05 \text{ м}} = \frac{1500 \cdot 0,01 \cdot \sin(30^\circ)}{0,05} = \frac{1500 \cdot 0,01 \cdot 0,5}{0,05} = \frac{7,5}{0,05} = 150 \text{ В}$.

Ответ: $150 \text{ В}$.

Каким будет ответ, если длину конденсатора увеличить до 10 см?

Рассмотрим случай с длиной $l_2 = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$.

Проверим условие возможности полета для новой длины. Вертикальное смещение, которое потребовалось бы электрону, чтобы его скорость стала параллельной пластинам, равно:

$\Delta y_2 = \frac{l_2}{2}\tan\alpha = \frac{0,1 \text{ м}}{2} \tan(15^\circ) \approx 0,05 \cdot 0,268 = 0,0134 \text{ м}$.

Сравним это смещение с расстоянием между пластинами $d = 0,01 \text{ м}$.

$\Delta y_2 = 0,0134 \text{ м} > d = 0,01 \text{ м}$.

Полученное смещение больше, чем расстояние между пластинами. Это означает, что электрон столкнется с одной из пластин конденсатора до того, как его скорость сможет стать параллельной им. Следовательно, при длине конденсатора 10 см электрон не может вылететь из него параллельно пластинам.

Ответ: При длине конденсатора 10 см электрон столкнется с пластиной и не сможет вылететь параллельно им ни при каком напряжении. В этом случае задача не имеет решения.