Номер 12.78, страница 78 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.78, страница 78.

Условие.

12.78. Управляющие пластины электронно-лучевой трубки образуют плоский конденсатор. Расстояние между пластинами $d = 10 \text{ мм}$, длина пластин $l = 50 \text{ мм}$. Электроны влетают в конденсатор параллельно пластинам со скоростью $v = 2,0 \cdot 10^7 \text{ м/с}$. На пластины подают разность потенциалов $U = 50 \text{ В}$. Какова форма траектории электронов внутри конденсатора? На какое расстояние $\text{h}$ от первоначального направления сместятся электроны к моменту вылета из конденсатора?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Расстояние между пластинами $d = 10 \text{ мм}$

Длина пластин $l = 50 \text{ мм}$

Начальная скорость электронов $v = 2,0 \cdot 10^7 \text{ м/с}$

Разность потенциалов $U = 50 \text{ В}$

Заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Масса электрона $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}$

Перевод в систему СИ:

$d = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,01 \text{ м}$

$l = 50 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,05 \text{ м}$

Найти:

1. Форма траектории электронов.

2. Смещение $\text{h}$.

Решение:

Движение электрона в однородном электрическом поле конденсатора можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: равномерного вдоль пластин (по оси OX) и равноускоренного перпендикулярно пластинам (по оси OY).

Какова форма траектории электронов внутри конденсатора?

Выберем систему координат так, чтобы ось OX была направлена параллельно пластинам в сторону начальной скорости электрона, а ось OY — перпендикулярно пластинам. Начало координат поместим в точку, где электрон влетает в конденсатор.

Вдоль оси OX на электрон не действуют силы (силой тяжести можно пренебречь по сравнению с электрической), поэтому его движение является равномерным. Координата $\text{x}$ со временем изменяется по закону:

$x(t) = v \cdot t$ (1)

Вдоль оси OY на электрон действует постоянная электрическая сила $F_y = eE$, где $\text{e}$ – модуль заряда электрона, а $\text{E}$ – напряженность электрического поля в конденсаторе. Для плоского конденсатора $E = U/d$. Таким образом, сила, действующая на электрон, равна $F_y = e \frac{U}{d}$.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает электрону постоянное ускорение $a_y$:

$a_y = \frac{F_y}{m_e} = \frac{eU}{m_e d}$

Поскольку начальная скорость в направлении оси OY равна нулю ($v_{0y} = 0$), движение вдоль этой оси является равноускоренным. Координата $\text{y}$ (смещение) со временем изменяется по закону:

$y(t) = \frac{a_y t^2}{2} = \frac{eU t^2}{2m_e d}$ (2)

Чтобы найти уравнение траектории $y(x)$, необходимо исключить время $\text{t}$ из системы уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) выразим время: $t = x/v$. Подставим это выражение в уравнение (2):

$y(x) = \frac{eU}{2m_e d} \left(\frac{x}{v}\right)^2 = \left(\frac{eU}{2m_e d v^2}\right) x^2$

Это уравнение вида $y = kx^2$, где $\text{k}$ – константа. Такое уравнение описывает параболу, ветви которой направлены в сторону действия электрической силы.

Ответ: Траектория электронов внутри конденсатора является параболой.

На какое расстояние h от первоначального направления сместятся электроны к моменту вылета из конденсатора?

Смещение $\text{h}$ представляет собой значение координаты $\text{y}$ в тот момент, когда электрон покидает конденсатор. Это произойдет, когда его координата $\text{x}$ станет равной длине пластин $\text{l}$.

Найдем время полета $t_{п}$ электрона внутри конденсатора из уравнения движения по оси OX:

$l = v \cdot t_{п} \implies t_{п} = \frac{l}{v}$

Теперь подставим найденное время в уравнение для координаты $\text{y}$, чтобы найти смещение $\text{h}$:

$h = y(t_{п}) = \frac{eU t_{п}^2}{2m_e d} = \frac{eU}{2m_e d} \left(\frac{l}{v}\right)^2 = \frac{eUl^2}{2m_e d v^2}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$h = \frac{(1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}) \cdot (50 \text{ В}) \cdot (0,05 \text{ м})^2}{2 \cdot (9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (0,01 \text{ м}) \cdot (2,0 \cdot 10^7 \text{ м/с})^2}$

$h = \frac{1,6 \cdot 50 \cdot 0,0025 \cdot 10^{-19}}{2 \cdot 9,1 \cdot 0,01 \cdot 4 \cdot 10^{14}} = \frac{0,2 \cdot 10^{-19}}{0,728 \cdot 10^{-17}} = \frac{2 \cdot 10^{-20}}{7,28 \cdot 10^{-18}} \text{ м}$

$h \approx 0,2747 \cdot 10^{-2} \text{ м} \approx 2,7 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 2,7 \text{ мм}$

Ответ: К моменту вылета из конденсатора электроны сместятся на расстояние $h \approx 2,7 \text{ мм}$.