Номер 12.77, страница 78 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.77, страница 78.

Условие.

12.77**. Внутри гладкой диэлектрической сферы радиусом $\text{R}$ находится маленький шарик массой $\text{m}$ с зарядом $+q$. Какой заряд $\text{Q}$ нужно поместить в нижней точке сферы, чтобы шарик удерживался в ее верхней точке? Поляризацией сферы можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Радиус диэлектрической сферы: $\text{R}$

Масса шарика: $\text{m}$

Заряд шарика: $+q$

Найти:

Заряд $\text{Q}$

Решение:

Чтобы маленький шарик находился в равновесии в верхней точке сферы, векторная сумма всех действующих на него сил должна быть равна нулю. Рассмотрим силы, действующие на шарик вдоль вертикальной оси.

1. Сила тяжести $F_g$, направленная вертикально вниз. Ее модуль равен $F_g = mg$.

2. Сила Кулона $F_e$, действующая со стороны заряда $\text{Q}$, помещенного в нижней точке сферы. Для того чтобы уравновесить силу тяжести, эта сила должна быть направлена вверх. Это означает, что сила взаимодействия между зарядами должна быть силой отталкивания. Поскольку заряд шарика $\text{q}$ положителен, заряд $\text{Q}$ также должен быть положительным. Расстояние $\text{r}$ между зарядом $\text{Q}$ в нижней точке и зарядом $\text{q}$ в верхней точке равно диаметру сферы, то есть $r = 2R$.

Величина силы Кулона определяется по закону Кулона:

$F_e = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q q}{r^2} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q q}{(2R)^2} = \frac{Q q}{16\pi\varepsilon_0 R^2}$

3. Сила нормальной реакции $\text{N}$ со стороны внутренней поверхности сферы. Поскольку шарик находится в верхней точке, сфера может давить на него только вниз. Следовательно, сила $\text{N}$ направлена вертикально вниз.

Запишем условие равновесия для шарика в проекции на вертикальную ось, выбрав положительное направление вверх:

$\sum F_y = F_e - F_g - N = 0$

Отсюда получаем соотношение между силами:

$F_e = F_g + N$

Так как сфера гладкая и может только отталкивать шарик, а не притягивать его, сила нормальной реакции не может быть отрицательной, то есть $N \ge 0$. Таким образом, для равновесия необходимо, чтобы $F_e \ge F_g$. В задаче требуется найти конкретное значение заряда $\text{Q}$, которое "удерживает" шарик. Это соответствует граничному условию, когда шарик находится в равновесии, не оказывая давления на сферу. В этом случае сила нормальной реакции равна нулю, $N=0$.

При $N = 0$ условие равновесия принимает вид:

$F_e = F_g$

Подставляем выражения для сил в это уравнение:

$\frac{Q q}{16\pi\varepsilon_0 R^2} = mg$

Из этого уравнения выражаем искомый заряд $\text{Q}$:

$Q = \frac{16\pi\varepsilon_0 mgR^2}{q}$

Ответ:

Для удержания шарика в верхней точке сферы в ее нижней точке необходимо поместить заряд $Q = \frac{16\pi\varepsilon_0 mgR^2}{q}$.