Номер 12.82, страница 79 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.82, страница 79.

Условие.

12.82. Электрон влетает в плоский конденсатор параллельно его пластинам со скоростью $v_0 = 2,0 \cdot 10^7$ м/с. Напряженность поля в конденсаторе $E = 2,5 \cdot 10^4$ В/м, длина конденсатора $l = 80$ мм. Найдите величину $\text{v}$ и направление скорости электрона в момент вылета из конденсатора.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость электрона $v_0 = 2,0 \cdot 10^7$ м/с

Напряженность электрического поля $E = 2,5 \cdot 10^4$ В/м

Длина конденсатора $l = 80$ мм

Заряд электрона $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Масса электрона $m_e = 9,1 \cdot 10^{-31}$ кг

$l = 80 \text{ мм} = 80 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 0,08 \text{ м}$

Найти:

Величину скорости $\text{v}$ и направление скорости (угол $\alpha$) электрона в момент вылета из конденсатора.

Решение:

Движение электрона в конденсаторе можно разложить на два независимых движения: равномерное движение вдоль пластин (ось ОХ) и равноускоренное движение перпендикулярно пластинам (ось ОY), так как электрическое поле действует только в этом направлении.

1. Движение вдоль оси ОХ (параллельно пластинам):

В этом направлении на электрон не действуют силы, поэтому его скорость остается постоянной и равной начальной скорости:

$v_x = v_0 = 2,0 \cdot 10^7$ м/с

Время, которое электрон проводит внутри конденсатора, можно найти из равномерного движения:

$t = \frac{l}{v_x} = \frac{l}{v_0}$

$t = \frac{0,08 \text{ м}}{2,0 \cdot 10^7 \text{ м/с}} = 4,0 \cdot 10^{-9}$ с

2. Движение вдоль оси ОY (перпендикулярно пластинам):

На электрон действует постоянная электрическая сила $F = eE$. Согласно второму закону Ньютона, эта сила сообщает электрону ускорение:

$a_y = \frac{F}{m_e} = \frac{eE}{m_e}$

$a_y = \frac{1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл} \cdot 2,5 \cdot 10^4 \text{ В/м}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ кг}} \approx 4,4 \cdot 10^{15}$ м/с²

Так как начальная скорость в этом направлении равна нулю ($v_{0y} = 0$), то к моменту вылета из конденсатора вертикальная составляющая скорости будет равна:

$v_y = a_y \cdot t = \frac{eE}{m_e} \cdot \frac{l}{v_0}$

$v_y = (4,4 \cdot 10^{15} \text{ м/с²}) \cdot (4,0 \cdot 10^{-9} \text{ с}) \approx 1,76 \cdot 10^7$ м/с

3. Нахождение величины и направления конечной скорости:

Полная скорость $\text{v}$ в момент вылета находится по теореме Пифагора, так как ее составляющие $v_x$ и $v_y$ перпендикулярны друг другу:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

$v = \sqrt{(2,0 \cdot 10^7 \text{ м/с})^2 + (1,76 \cdot 10^7 \text{ м/с})^2} = \sqrt{4,0 \cdot 10^{14} + 3,1 \cdot 10^{14}} = \sqrt{7,1 \cdot 10^{14}} \approx 2,7 \cdot 10^7$ м/с

Направление скорости можно определить через угол $\alpha$, который вектор скорости составляет с первоначальным направлением (осью ОХ). Тангенс этого угла равен отношению вертикальной составляющей скорости к горизонтальной:

$\text{tg}(\alpha) = \frac{v_y}{v_x} = \frac{1,76 \cdot 10^7 \text{ м/с}}{2,0 \cdot 10^7 \text{ м/с}} = 0,88$

$\alpha = \text{arctg}(0,88) \approx 41,3^{\circ}$

Ответ: величина скорости электрона в момент вылета из конденсатора составляет $v \approx 2,7 \cdot 10^7$ м/с, а ее направление составляет угол $\alpha \approx 41^{\circ}$ с первоначальным направлением движения.