Номер 12.75, страница 78 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.75, страница 78.

Условие.

12.75**. Во сколько раз изменяется энергия электрического поля при распаде заряженной капли ртути на $\text{N}$ одинаковых капель, разлетающихся на большое расстояние друг от друга?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная заряженная капля ртути - 1 шт.
Количество одинаковых капель после распада - $\text{N}$
Заряд начальной капли - $\text{Q}$
Радиус начальной капли - $\text{R}$
Заряд одной маленькой капли - $\text{q}$
Радиус одной маленькой капли - $\text{r}$

Найти:

Отношение конечной энергии электрического поля $W_2$ к начальной энергии $W_1$, то есть $\frac{W_2}{W_1}$.

Решение:

Энергия электрического поля уединенной проводящей сферы (капли) радиусом $\text{R}$ с зарядом $\text{Q}$ определяется по формуле: $W = \frac{kQ^2}{2R}$, где $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$ — коэффициент в законе Кулона.

Начальная энергия системы, состоящей из одной большой капли, равна: $W_1 = \frac{kQ^2}{2R}$

После распада большой капли на $\text{N}$ одинаковых маленьких капель выполняются законы сохранения заряда и объема.

1. Закон сохранения заряда: Суммарный заряд всех маленьких капель равен заряду исходной капли. Поскольку все маленькие капли одинаковы, заряд каждой из них $\text{q}$ будет: $q = \frac{Q}{N}$

2. Закон сохранения объема: Суммарный объем маленьких капель равен объему исходной капли. Объем шара (капли) $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. $V_{начальный} = N \cdot V_{маленькой}$ $\frac{4}{3}\pi R^3 = N \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$ $R^3 = N r^3$ Отсюда находим связь между радиусами большой и маленькой капель: $R = r \sqrt[3]{N} = r N^{1/3}$

Теперь определим конечную энергию системы. По условию, маленькие капли разлетаются на большое расстояние друг от друга. Это означает, что энергией их электростатического взаимодействия можно пренебречь. Тогда конечная энергия $W_2$ будет равна сумме энергий всех $\text{N}$ маленьких капель.

Энергия одной маленькой капли: $w = \frac{kq^2}{2r}$

Суммарная энергия всех $\text{N}$ капель: $W_2 = N \cdot w = N \frac{kq^2}{2r}$

Подставим в это выражение заряд маленькой капли $q = \frac{Q}{N}$: $W_2 = N \frac{k(\frac{Q}{N})^2}{2r} = N \frac{k\frac{Q^2}{N^2}}{2r} = \frac{kQ^2}{2Nr}$

Теперь найдем, во сколько раз изменилась энергия, то есть найдем отношение $\frac{W_2}{W_1}$: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{\frac{kQ^2}{2Nr}}{\frac{kQ^2}{2R}} = \frac{2R}{2Nr} = \frac{R}{Nr}$

Подставим в полученное отношение связь между радиусами $R = r N^{1/3}$: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{r N^{1/3}}{Nr} = \frac{N^{1/3}}{N} = N^{1/3 - 1} = N^{-2/3} = \frac{1}{N^{2/3}}$

Так как $N > 1$, то отношение $\frac{W_2}{W_1}$ меньше единицы. Это означает, что энергия электрического поля уменьшается.

Ответ: Энергия электрического поля уменьшится в $N^{2/3}$ раз.