Номер 12.80, страница 78 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.80, страница 78.

Условие.

12.80. Электрон влетает со скоростью $v_0$ в пространство между пластинами плоского конденсатора через отверстие в нижней пластине под углом $\alpha$ к плоскости пластин (см. рисунок). Расстояние между пластинами равно $\text{d}$, напряжение $\text{U}$. На какое наименьшее расстояние $\text{s}$ приблизится электрон к верхней пластине? Размеры пластин считайте достаточно большими.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Начальная скорость электрона: $v_0$

Угол влета: $\alpha$

Расстояние между пластинами: $\text{d}$

Напряжение между пластинами: $\text{U}$

Заряд электрона: $-e$ (где $\text{e}$ - элементарный заряд)

Масса электрона: $m_e$

Найти:

Наименьшее расстояние до верхней пластины: $\text{s}$

Решение:

Введем систему координат. Ось OY направим перпендикулярно пластинам вверх, от нижней пластины к верхней. Ось OX — вдоль нижней пластины. Начало координат $(0,0)$ поместим в точку влета электрона.

Между пластинами плоского конденсатора существует однородное электрическое поле. Согласно рисунку, нижняя пластина заряжена положительно, а верхняя — отрицательно. Вектор напряженности электрического поля $\vec{E}$ направлен от положительной пластины к отрицательной, то есть вертикально вверх. Модуль напряженности поля равен $E = \frac{U}{d}$.

На электрон (заряд $q = -e$) действует электрическая сила $\vec{F} = q\vec{E} = -e\vec{E}$. Эта сила направлена противоположно вектору $\vec{E}$, то есть вертикально вниз. Величина этой силы постоянна: $F = eE = \frac{eU}{d}$. Силой тяжести пренебрегаем, так как она значительно меньше электрической силы.

Движение электрона можно разложить на два независимых движения: равномерное вдоль оси OX со скоростью $v_x = v_0 \cos \alpha$ и равнозамедленное вдоль оси OY. Начальная скорость вдоль оси OY равна $v_{0y} = v_0 \sin \alpha$, а ускорение направлено вниз и равно $a_y = -\frac{F}{m_e} = -\frac{eU}{m_e d}$.

Наименьшее расстояние до верхней пластины электрон достигнет в точке максимального подъема $y_{max}$. Для нахождения этой высоты воспользуемся законом сохранения энергии. Полная энергия электрона, состоящая из кинетической и потенциальной энергии в электрическом поле, сохраняется.

Примем потенциальную энергию электрона на уровне нижней пластины ($y=0$) равной нулю. Потенциальная энергия электрона на высоте $\text{y}$ определяется работой электрической силы: $PE(y) = F \cdot y = \frac{eU}{d}y$.

В начальный момент времени (при $y=0$):

Кинетическая энергия: $KE_0 = \frac{1}{2}m_e v_0^2$.

Потенциальная энергия: $PE_0 = 0$.

Полная энергия: $W = KE_0 + PE_0 = \frac{1}{2}m_e v_0^2$.

В точке максимального подъема ($y = y_{max}$), вертикальная составляющая скорости $v_y$ становится равной нулю. Горизонтальная составляющая скорости не изменяется: $v_x = v_0 \cos \alpha$.

Кинетическая энергия в этой точке: $KE_{max} = \frac{1}{2}m_e v_x^2 = \frac{1}{2}m_e (v_0 \cos \alpha)^2$.

Потенциальная энергия: $PE_{max} = \frac{eU}{d} y_{max}$.

Согласно закону сохранения энергии:

$KE_0 + PE_0 = KE_{max} + PE_{max}$

$\frac{1}{2}m_e v_0^2 = \frac{1}{2}m_e v_0^2 \cos^2 \alpha + \frac{eU}{d} y_{max}$

Выразим $y_{max}$:

$\frac{eU}{d} y_{max} = \frac{1}{2}m_e v_0^2 - \frac{1}{2}m_e v_0^2 \cos^2 \alpha = \frac{1}{2}m_e v_0^2 (1 - \cos^2 \alpha) = \frac{1}{2}m_e v_0^2 \sin^2 \alpha$

$y_{max} = \frac{m_e d v_0^2 \sin^2 \alpha}{2eU}$

Это выражение для максимальной высоты подъема справедливо, если электрон не достигает верхней пластины, то есть если $y_{max} < d$.

Возможны два случая:

1. Если начальной кинетической энергии вертикального движения электрона достаточно, чтобы достичь верхней пластины ($y_{max} \ge d$, что эквивалентно условию $\frac{1}{2}m_e v_0^2 \sin^2 \alpha \ge eU$), то электрон долетает до верхней пластины. В этом случае наименьшее расстояние до нее равно нулю.

2. Если начальной кинетической энергии вертикального движения недостаточно ($y_{max} < d$, что эквивалентно условию $\frac{1}{2}m_e v_0^2 \sin^2 \alpha < eU$), то электрон не достигает верхней пластины. Наименьшее расстояние $\text{s}$ до верхней пластины равно:

$s = d - y_{max} = d - \frac{m_e d v_0^2 \sin^2 \alpha}{2eU} = d \left(1 - \frac{m_e v_0^2 \sin^2 \alpha}{2eU}\right)$

Ответ:

Наименьшее расстояние $\text{s}$, на которое электрон приблизится к верхней пластине, зависит от соотношения начальной кинетической энергии его вертикального движения и работы $\text{eU}$ электрического поля на расстоянии $\text{d}$.

Если $\frac{1}{2} m_e v_0^2 \sin^2 \alpha \ge eU$, то электрон достигает верхней пластины, и $s = 0$.

Если $\frac{1}{2} m_e v_0^2 \sin^2 \alpha < eU$, то электрон не достигает верхней пластины, и наименьшее расстояние до нее равно $s = d \left(1 - \frac{m_e v_0^2 \sin^2 \alpha}{2eU}\right)$.