Номер 12.84, страница 79 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 12. Электростатика - номер 12.84, страница 79.

Условие.

12.84** Плоский воздушный конденсатор представляет собой две квадратные металлические пластины размером $a \times a$, расположенные на расстоянии $\text{d}$ друг от друга, причем $d \ll a$. Пластины вертикальны, их нижние края горизонтальны. Конденсатор заряжают и, отсоединив его от источника напряжения, подносят к нему широкий сосуд с непроводящей жидкостью так, чтобы поверхность жидкости коснулась нижних краев пластин. Жидкость втягивается в конденсатор и устанавливается на некоторой высоте. Чему равна эта высота $\text{h}$, если напряжение на конденсаторе в конце процесса равно $\text{U}$? Плотность жидкости $\rho$, диэлектрическая проницаемость $\varepsilon$. Поверхностным натяжением можно пренебречь.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Размер пластин: $a \times a$

Расстояние между пластинами: $\text{d}$ ($d \ll a$)

Конечное напряжение: $\text{U}$

Плотность жидкости: $\rho$

Диэлектрическая проницаемость жидкости: $\varepsilon$

Электрическая постоянная: $\varepsilon_0$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

Высота подъема жидкости $\text{h}$

Решение:

Поскольку конденсатор заряжают и отсоединяют от источника, его заряд $\text{q}$ остается постоянным в течение всего процесса.

Когда жидкость втягивается в конденсатор на высоту $\text{h}$, система представляет собой два конденсатора, соединенных параллельно. Первый (нижний) заполнен жидкостью с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ и имеет площадь пластин $S_1 = ah$. Второй (верхний) остается воздушным (диэлектрическая проницаемость $\varepsilon_{air} \approx 1$) и имеет площадь пластин $S_2 = a(a-h)$.

Емкость первого конденсатора: $C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S_1}{d} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 ah}{d}$.

Емкость второго конденсатора: $C_2 = \frac{\varepsilon_0 S_2}{d} = \frac{\varepsilon_0 a(a-h)}{d}$.

Полная емкость системы в конечном состоянии:

$C = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 ah}{d} + \frac{\varepsilon_0 a(a-h)}{d} = \frac{\varepsilon_0 a}{d}(\varepsilon h + a - h) = \frac{\varepsilon_0 a}{d}(a + h(\varepsilon-1))$.

Заряд на конденсаторе можно выразить через конечное напряжение $\text{U}$ и конечную емкость $\text{C}$:

$q = C U = \frac{\varepsilon_0 a (a + h(\varepsilon-1))}{d} U$.

Жидкость поднимается до тех пор, пока сила тяжести, действующая на столб жидкости, не уравновесится втягивающей электрической силой. Найдем эту силу через изменение энергии электрического поля. Энергия заряженного конденсатора $W_e = \frac{q^2}{2C}$. Поскольку заряд $\text{q}$ постоянен, втягивающая сила $F_e$, действующая на диэлектрик, равна:

$F_e = - \frac{dW_e}{dh}$

Подставим выражение для емкости $C(h)$:

$W_e(h) = \frac{q^2}{2 \frac{\varepsilon_0 a}{d}(a + h(\varepsilon-1))} = \frac{q^2 d}{2 \varepsilon_0 a (a + h(\varepsilon-1))}$

Теперь найдем производную по $\text{h}$:

$F_e = - \frac{d}{dh} \left( \frac{q^2 d}{2 \varepsilon_0 a} (a + h(\varepsilon-1))^{-1} \right) = - \frac{q^2 d}{2 \varepsilon_0 a} \left( -1 \cdot (a + h(\varepsilon-1))^{-2} \cdot (\varepsilon-1) \right) = \frac{q^2 d (\varepsilon-1)}{2 \varepsilon_0 a (a + h(\varepsilon-1))^2}$.

Сила тяжести, действующая на столб жидкости высотой $\text{h}$:

$F_g = mg = \rho V g = \rho (adh) g$.

В состоянии равновесия $F_e = F_g$:

$\frac{q^2 d (\varepsilon-1)}{2 \varepsilon_0 a (a + h(\varepsilon-1))^2} = \rho a d h g$.

Подставим в это уравнение выражение для заряда $q = \frac{\varepsilon_0 a (a + h(\varepsilon-1))}{d} U$:

$\frac{\left( \frac{\varepsilon_0 a (a + h(\varepsilon-1))}{d} U \right)^2 d (\varepsilon-1)}{2 \varepsilon_0 a (a + h(\varepsilon-1))^2} = \rho a d h g$.

Упростим выражение, сократив $(a + h(\varepsilon-1))^2$:

$\frac{\frac{\varepsilon_0^2 a^2 U^2}{d^2} d (\varepsilon-1)}{2 \varepsilon_0 a} = \rho a d h g$.

$\frac{\varepsilon_0 a U^2 (\varepsilon-1)}{2d} = \rho a d h g$.

Наконец, выразим высоту $\text{h}$, сократив $\text{a}$:

$h = \frac{\varepsilon_0 a U^2 (\varepsilon-1)}{2d \cdot \rho a d g} = \frac{\varepsilon_0 (\varepsilon-1) U^2}{2 \rho g d^2}$.

Ответ: $h = \frac{\varepsilon_0 (\varepsilon-1) U^2}{2 \rho g d^2}$.