Номер 13.6, страница 80 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.6, страница 80.

Условие.

13.6*. Плоский конденсатор с квадратными пластинами $10 \text{ см} \times 10 \text{ см}$, находящимися на расстоянии $d = 2,0 \text{ мм}$ друг от друга, подключен к источнику постоянного напряжения $U = 750 \text{ В}$. В пространство между пластинами вдвигают с постоянной скоростью $v = 40 \text{ см/с}$ стеклянную пластину толщиной $2,0 \text{ мм}$ (см. рисунок). Какова при этом сила тока $\text{i}$ в цепи?

Решение.

Решение 2.

Дано

Размеры пластин: $10 \text{ см} \times 10 \text{ см}$
Сторона пластины: $a = 10 \text{ см}$
Расстояние между пластинами: $d = 2,0 \text{ мм}$
Напряжение источника: $U = 750 \text{ В}$
Скорость вдвигания пластины: $v = 40 \text{ см/с}$
Толщина стеклянной пластины: $h = 2,0 \text{ мм}$

Перевод в систему СИ:
$a = 10 \text{ см} = 0,1 \text{ м}$
$d = 2,0 \text{ мм} = 2,0 \times 10^{-3} \text{ м}$
$v = 40 \text{ см/с} = 0,4 \text{ м/с}$
$h = 2,0 \text{ мм} = 2,0 \times 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

Сила тока $\text{i}$

Решение

Когда стеклянную пластину вдвигают в конденсатор, его ёмкость изменяется. Поскольку конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения, изменение ёмкости приводит к изменению заряда на пластинах, что, в свою очередь, создает электрический ток в цепи.

Сила тока $\text{i}$ определяется как скорость изменения заряда $\text{q}$ на пластинах конденсатора:
$i = \frac{dq}{dt}$

Заряд на конденсаторе связан с его ёмкостью $\text{C}$ и напряжением $\text{U}$ формулой $q = C \cdot U$. Так как напряжение $\text{U}$ постоянно, получаем:$i = \frac{d(C \cdot U)}{dt} = U \frac{dC}{dt}$

Рассмотрим момент времени $\text{t}$, когда стеклянная пластина вдвинута в конденсатор на расстояние $\text{x}$. Систему можно представить как два параллельно соединенных конденсатора: один с диэлектриком (стекло), другой — без него (воздух).

Пусть $\text{a}$ — сторона квадратной пластины. Площадь части конденсатора, заполненной стеклом, равна $S_1 = a \cdot x$. Ёмкость этой части:$C_1 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S_1}{d} = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 a x}{d}$где $\varepsilon$ — диэлектрическая проницаемость стекла, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная ($\varepsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} \text{ Ф/м}$).

Площадь части конденсатора, заполненной воздухом, равна $S_2 = a \cdot (a - x)$. Ёмкость этой части (считая диэлектрическую проницаемость воздуха равной 1):$C_2 = \frac{\varepsilon_0 S_2}{d} = \frac{\varepsilon_0 a (a - x)}{d}$

Общая ёмкость системы $\text{C}$ равна сумме ёмкостей $C_1$ и $C_2$, так как они соединены параллельно:$C(x) = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 a x}{d} + \frac{\varepsilon_0 a (a - x)}{d} = \frac{\varepsilon_0 a}{d}(\varepsilon x + a - x) = \frac{\varepsilon_0 a}{d}(a + (\varepsilon - 1)x)$

Теперь найдем производную ёмкости по времени. Так как пластина движется с постоянной скоростью $\text{v}$, то $x = v \cdot t$, и, следовательно, $\frac{dx}{dt} = v$.$\frac{dC}{dt} = \frac{d}{dt}\left[\frac{\varepsilon_0 a}{d}(a + (\varepsilon - 1)x)\right] = \frac{\varepsilon_0 a (\varepsilon - 1)}{d} \frac{dx}{dt} = \frac{\varepsilon_0 a v (\varepsilon - 1)}{d}$

Подставим это выражение в формулу для тока:$i = U \frac{dC}{dt} = U \frac{\varepsilon_0 a v (\varepsilon - 1)}{d}$

Диэлектрическая проницаемость стекла $\varepsilon$ является справочной величиной. Для обычного стекла она находится в диапазоне от 4 до 10. В школьных задачах часто принимают $\varepsilon \approx 7$. Возьмем это значение для расчета.

Подставим числовые значения в систему СИ:$i = \frac{750 \text{ В} \cdot 8,85 \times 10^{-12} \frac{\text{Ф}}{\text{м}} \cdot 0,1 \text{ м} \cdot 0,4 \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot (7 - 1)}{2,0 \times 10^{-3} \text{ м}}$$i = \frac{750 \cdot 8,85 \times 10^{-12} \cdot 0,1 \cdot 0,4 \cdot 6}{2,0 \times 10^{-3}} = \frac{1593 \times 10^{-12}}{2,0 \times 10^{-3}} = 796,5 \times 10^{-9} \text{ А}$

Переведем результат в микроамперы:$i = 796,5 \times 10^{-9} \text{ А} = 0,7965 \times 10^{-6} \text{ А} \approx 0,80 \text{ мкА}$

Так как скорость постоянна, сила тока в цепи также будет постоянной, пока пластина вдвигается в конденсатор.

Ответ: $i \approx 0,80 \text{ мкА}$.