Номер 13.13, страница 81 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.13, страница 81.

Условие.

13.13*. Для каждой из трех схем включения реостата (рис. а, б, в) постройте график зависимости сопротивления цепи $\text{R}$ от сопротивления $\text{r}$ правой части реостата. Обмотка реостата имеет сопротивление $R_0$.

Рис. а

Рис. б

Рис. в

Решение.

Решение 2.

Дано:

$R_0$ – полное сопротивление обмотки реостата.
$\text{r}$ – сопротивление правой части реостата, $\text{r}$ изменяется в пределах от $\text{0}$ до $R_0$.

Найти:

Построить график зависимости сопротивления цепи $\text{R}$ от сопротивления $\text{r}$ для каждой из трех схем: $R(r)$.

Решение:

Введем обозначение для сопротивления левой части реостата – $R_{left}$. Полное сопротивление реостата $R_0$ является суммой сопротивлений его левой и правой частей: $R_0 = R_{left} + r$. Отсюда следует, что $R_{left} = R_0 - r$.
Переменная $\text{r}$ (сопротивление правой части реостата) изменяется от $\text{0}$ (когда ползунок находится в крайнем правом положении) до $R_0$ (когда ползунок находится в крайнем левом положении).

Рис. а

В данной схеме реостат включен как переменный резистор. Ток течет от левого вывода к ползунку, то есть через левую часть обмотки реостата. Следовательно, общее сопротивление цепи $\text{R}$ равно сопротивлению этой части:

$R(r) = R_{left} = R_0 - r$

Эта зависимость является линейной. Для построения графика найдем значения на концах интервала изменения $\text{r}$:
При $r = 0$ (ползунок справа), $R = R_0 - 0 = R_0$.
При $r = R_0$ (ползунок слева), $R = R_0 - R_0 = 0$.
График представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(0, R_0)$ и $(R_0, 0)$ на плоскости $(r, R)$.

Ответ: Зависимость сопротивления от $\text{r}$ имеет вид $R(r) = R_0 - r$. График – отрезок прямой, соединяющий точки $(0, R_0)$ и $(R_0, 0)$.

Рис. б

В этой схеме подключения (потенциометрическая схема, включенная реостатом) левая и правая части обмотки реостата соединены параллельно. Ток входит через ползунок, а выходит через правый вывод, к которому также подключен и левый вывод реостата. Таким образом, ток разветвляется, проходя через левую часть ($R_{left} = R_0 - r$) и правую часть ($\text{r}$) параллельно.

Эквивалентное сопротивление $\text{R}$ для параллельного соединения вычисляется по формуле:

$R(r) = \frac{R_{left} \cdot r}{R_{left} + r} = \frac{(R_0 - r) \cdot r}{(R_0 - r) + r} = \frac{r(R_0 - r)}{R_0}$

Эта зависимость является квадратичной: $R(r) = r - \frac{r^2}{R_0}$. График – парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ключевые точки для построения графика:
При $r = 0$, $R = \frac{0 \cdot (R_0 - 0)}{R_0} = 0$.
При $r = R_0$, $R = \frac{R_0 \cdot (R_0 - R_0)}{R_0} = 0$.
Максимум функции достигается в вершине параболы при $r = -\frac{1}{2 \cdot (-1/R_0)} = \frac{R_0}{2}$.
Максимальное значение сопротивления: $R_{max} = R(\frac{R_0}{2}) = \frac{\frac{R_0}{2}(R_0 - \frac{R_0}{2})}{R_0} = \frac{R_0}{4}$.
График представляет собой дугу параболы, которая начинается в точке $(0, 0)$, достигает максимума в точке $(R_0/2, R_0/4)$ и возвращается в точку $(R_0, 0)$.

Ответ: Зависимость сопротивления от $\text{r}$ имеет вид $R(r) = \frac{r(R_0 - r)}{R_0}$. График – дуга параболы с вершиной в точке $(R_0/2, R_0/4)$, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(R_0, 0)$.

Рис. в

В этой схеме реостат, включенный по схеме (а), соединен параллельно с постоянным резистором, сопротивление которого равно полному сопротивлению реостата $R_0$.

Сопротивление ветви, содержащей реостат, равно $R_{rheo} = R_{left} = R_0 - r$. Эта ветвь включена параллельно с другой ветвью, имеющей сопротивление $R_0$.

Общее сопротивление цепи $\text{R}$ равно эквивалентному сопротивлению двух параллельных ветвей:

$R(r) = \frac{R_{rheo} \cdot R_0}{R_{rheo} + R_0} = \frac{(R_0 - r) \cdot R_0}{(R_0 - r) + R_0} = \frac{R_0(R_0 - r)}{2R_0 - r}$

Это дробно-рациональная функция. Исследуем ее на интервале $r \in [0, R_0]$:
При $r = 0$, $R = \frac{R_0(R_0 - 0)}{2R_0 - 0} = \frac{R_0^2}{2R_0} = \frac{R_0}{2}$.
При $r = R_0$, $R = \frac{R_0(R_0 - R_0)}{2R_0 - R_0} = \frac{0}{R_0} = 0$.
Для определения характера кривой найдем производную: $\frac{dR}{dr} = \frac{-R_0(2R_0-r) - (R_0^2-R_0r)(-1)}{(2R_0-r)^2} = \frac{-2R_0^2+R_0r+R_0^2-R_0r}{(2R_0-r)^2} = \frac{-R_0^2}{(2R_0 - r)^2}$.
Поскольку производная $R'(r) < 0$ на всем интервале, функция монотонно убывает. Вторая производная $R''(r) = \frac{-2R_0^2}{(2R_0 - r)^3} < 0$, следовательно, график функции является выпуклым вверх (вогнутым).
График представляет собой вогнутую кривую, монотонно убывающую от точки $(0, R_0/2)$ до точки $(R_0, 0)$.

Ответ: Зависимость сопротивления от $\text{r}$ имеет вид $R(r) = \frac{R_0(R_0 - r)}{2R_0 - r}$. График – монотонно убывающая вогнутая кривая, идущая от точки $(0, R_0/2)$ до точки $(R_0, 0)$.