Номер 13.9, страница 80 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.9, страница 80.

Условие.

13.9. Какие сопротивления $\text{R}$ можно получить, используя не более четырех резисторов с сопротивлением $R_0$? Начертите соответствующие схемы соединений.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Количество одинаковых резисторов: $1 \le n \le 4$.

Сопротивление каждого резистора: $R_0$.

Найти:

Все возможные значения эквивалентного сопротивления $\text{R}$ цепи.

Решение:

Рассмотрим все возможные схемы соединений для количества резисторов $\text{n}$ от 1 до 4.

ИСПОЛЬЗУЯ ОДИН РЕЗИСТОР (n=1)

1. Один резистор

При использовании одного резистора его сопротивление и будет сопротивлением цепи.

$R = R_0$

Ответ: $R_0$.

ИСПОЛЬЗУЯ ДВА РЕЗИСТОРА (n=2)

1. Последовательное соединение

При последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений: $R = R_0 + R_0 = 2R_0$.

Ответ: $2R_0$.

2. Параллельное соединение

При параллельном соединении: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{2}{R_0}$, откуда $R = \frac{R_0}{2}$.

Ответ: $\frac{R_0}{2}$.

ИСПОЛЬЗУЯ ТРИ РЕЗИСТОРА (n=3)

1. Последовательное соединение

$R = R_0 + R_0 + R_0 = 3R_0$.

Ответ: $3R_0$.

2. Параллельное соединение

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{3}{R_0}$, откуда $R = \frac{R_0}{3}$.

Ответ: $\frac{R_0}{3}$.

3. Смешанное соединение: два параллельно, один последовательно

Сопротивление двух параллельных резисторов $R_{12} = \frac{R_0}{2}$. Общее сопротивление: $R = R_{12} + R_0 = \frac{R_0}{2} + R_0 = \frac{3}{2}R_0$.

Ответ: $\frac{3}{2}R_0$.

4. Смешанное соединение: два последовательно, один параллельно

Сопротивление двух последовательных резисторов $R_{12} = 2R_0$. Общее сопротивление: $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{12}} + \frac{1}{R_0} = \frac{1}{2R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{3}{2R_0}$, откуда $R = \frac{2}{3}R_0$.

Ответ: $\frac{2}{3}R_0$.

ИСПОЛЬЗУЯ ЧЕТЫРЕ РЕЗИСТОРА (n=4)

Помимо очевидных случаев (все последовательно и все параллельно), существует несколько вариантов смешанного соединения.

1. Последовательное соединение: $R = 4R_0$.

Ответ: $4R_0$.

2. Параллельное соединение: $R = \frac{R_0}{4}$.

Ответ: $\frac{R_0}{4}$.

3. Три параллельно, один последовательно: $R = \frac{R_0}{3} + R_0 = \frac{4}{3}R_0$.

Ответ: $\frac{4}{3}R_0$.

4. Три последовательно, один параллельно: $\frac{1}{R} = \frac{1}{3R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{4}{3R_0} \implies R = \frac{3}{4}R_0$.

Ответ: $\frac{3}{4}R_0$.

5. Два параллельно, последовательно с двумя последовательными: $R = \frac{R_0}{2} + R_0 + R_0 = \frac{5}{2}R_0$.

Ответ: $\frac{5}{2}R_0$.

6. Два последовательно, параллельно с двумя параллельными: $\frac{1}{R} = \frac{1}{2R_0} + \frac{1}{R_0/2} = \frac{1}{2R_0} + \frac{2}{R_0} = \frac{5}{2R_0} \implies R = \frac{2}{5}R_0$.

Ответ: $\frac{2}{5}R_0$.

7. Цепочка из двух параллельных и одного последовательного, параллельно с четвертым: $R' = \frac{R_0}{2} + R_0 = \frac{3}{2}R_0$. Тогда $\frac{1}{R} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R_0} = \frac{1}{3R_0/2} + \frac{1}{R_0} = \frac{2}{3R_0} + \frac{3}{3R_0} = \frac{5}{3R_0} \implies R = \frac{3}{5}R_0$.

Ответ: $\frac{3}{5}R_0$.

8. Блок из двух последовательных и одного параллельного, последовательно с четвертым: $R' = \frac{2}{3}R_0$. Тогда $R = R' + R_0 = \frac{2}{3}R_0 + R_0 = \frac{5}{3}R_0$.

Ответ: $\frac{5}{3}R_0$.

Также возможно собрать схему "мост", где все четыре резистора одинаковы. Такое соединение будет иметь эквивалентное сопротивление $R=R_0$, что не является новым значением.

Соберем все полученные уникальные значения сопротивлений (в долях от $R_0$):

$\frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, 1, \frac{4}{3}, \frac{3}{2}, \frac{5}{3}, 2, \frac{5}{2}, 3, 4$.