Номер 13.12, страница 81 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.12, страница 81.

Условие.

13.12*. «Черный ящик» имеет три клеммы A, B, C (см. рисунок). Известно, что он содержит только резисторы. Сопротивления «черного ящика» при подключении к различным парам клемм таковы: $R_{AB} = 5 \text{ Ом}$, $R_{BC} = 8 \text{ Ом}$, $R_{AC} = 9 \text{ Ом}$. Предложите схему «черного ящика», содержащую минимально возможное число резисторов.

К задаче 13.12

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сопротивление между клеммами A и B: $R_{AB} = 5$ Ом

Сопротивление между клеммами B и C: $R_{BC} = 8$ Ом

Сопротивление между клеммами A и C: $R_{AC} = 9$ Ом

Найти:

Предложить схему «черного ящика», содержащую минимально возможное число резисторов.

Решение:

Для того чтобы соединить три клеммы, необходимо как минимум три резистора. Раcсмотрим простейшую схему соединения трех резисторов — «звезда» (Y-соединение). В этой схеме три резистора ($R_A$, $R_B$, $R_C$) подключены к соответствующим клеммам A, B, C, а другие их концы соединены в одной общей точке (узле).

При измерении сопротивления между двумя клеммами, например, A и B, третья клемма C остается неподключенной. В этом случае ток протекает через резисторы $R_A$ и $R_B$, которые оказываются соединенными последовательно. Резистор $R_C$ не участвует в цепи, так как через него ток не идет. Таким образом, измеряемые сопротивления будут равны:

$R_{AB} = R_A + R_B$

$R_{BC} = R_B + R_C$

$R_{AC} = R_A + R_C$

Подставим известные значения и получим систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

1. $R_A + R_B = 5$

2. $R_B + R_C = 8$

3. $R_A + R_C = 9$

Для решения этой системы сложим все три уравнения:

$(R_A + R_B) + (R_B + R_C) + (R_A + R_C) = 5 + 8 + 9$

$2R_A + 2R_B + 2R_C = 22$

$2(R_A + R_B + R_C) = 22$

$R_A + R_B + R_C = 11$

Теперь, вычитая из полученного уравнения каждое из исходных уравнений по очереди, найдем сопротивления $R_A$, $R_B$ и $R_C$.

Вычтем уравнение (1) ($R_A + R_B = 5$):

$(R_A + R_B + R_C) - (R_A + R_B) = 11 - 5$

$R_C = 6$ Ом

Вычтем уравнение (2) ($R_B + R_C = 8$):

$(R_A + R_B + R_C) - (R_B + R_C) = 11 - 8$

$R_A = 3$ Ом

Вычтем уравнение (3) ($R_A + R_C = 9$):

$(R_A + R_B + R_C) - (R_A + R_C) = 11 - 9$

$R_B = 2$ Ом

Так как мы нашли положительные значения для всех трех сопротивлений, предложенная схема возможна. Эта схема содержит минимальное число резисторов (три), необходимое для соединения трех клемм.

Ответ: Минимально возможное число резисторов в «черном ящике» равно трем. Они соединены по схеме «звезда»: от каждой клеммы (A, B, C) идет по одному резистору, и все три резистора соединяются в одной общей точке. Номиналы резисторов следующие: резистор, подключенный к клемме A, имеет сопротивление $\text{3}$ Ом; резистор, подключенный к клемме B, — $\text{2}$ Ом; резистор, подключенный к клемме C, — $\text{6}$ Ом.