Номер 13.16, страница 82 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.16, страница 82.

Условие.

13.16*. Найдите сопротивление $\text{R}$ проволочного тетраэдра, включенного в цепь двумя вершинами. Сопротивление каждого ребра $R_0$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Проволочный тетраэдр, состоящий из 6 рёбер.

Сопротивление каждого ребра: $R_0$.

Найти:

Эквивалентное сопротивление $\text{R}$ тетраэдра при подключении к двум вершинам.

Решение:

Обозначим вершины тетраэдра как A, B, C и D. Пусть источник тока подключен к вершинам A и B. Ток $\text{I}$ втекает в вершину A и вытекает из вершины B.

Каркас тетраэдра представляет собой электрическую цепь, состоящую из шести резисторов с сопротивлением $R_0$ каждый, соединенных по рёбрам тетраэдра.

Данная схема обладает симметрией. Если поменять местами вершины C и D, то электрическая схема не изменится. Это означает, что при подключении источника тока к вершинам A и B, потенциалы в вершинах C и D будут одинаковы: $\phi_C = \phi_D$.

Поскольку потенциалы в точках C и D равны, разность потенциалов между ними равна нулю. Следовательно, ток через ребро CD (резистор, соединяющий C и D) не течёт. Этот резистор можно мысленно удалить из схемы, так как он не влияет на общее сопротивление между точками A и B.

После удаления ребра CD схема значительно упрощается. Она представляет собой три параллельно соединённые ветви, идущие от точки A к точке B:

1. Прямое ребро AB. Его сопротивление равно $R_{AB} = R_0$.

2. Путь через вершину C: A → C → B. Эта ветвь состоит из двух последовательно соединённых резисторов AC и CB. Её общее сопротивление $R_{ACB} = R_0 + R_0 = 2R_0$.

3. Путь через вершину D: A → D → B. Эта ветвь также состоит из двух последовательно соединённых резисторов AD и DB. Её общее сопротивление $R_{ADB} = R_0 + R_0 = 2R_0$.

Теперь мы имеем три параллельно соединённых сопротивления: $R_0$, $2R_0$ и $2R_0$. Общее (эквивалентное) сопротивление $\text{R}$ цепи находится по формуле для параллельного соединения:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{AB}} + \frac{1}{R_{ACB}} + \frac{1}{R_{ADB}}$

Подставим значения сопротивлений:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{2R_0} + \frac{1}{2R_0}$

Сложим дроби:

$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_0} + \frac{2}{2R_0} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{R_0} = \frac{2}{R_0}$

Отсюда находим искомое сопротивление $\text{R}$:

$R = \frac{R_0}{2}$

Ответ: $R = \frac{R_0}{2}$.