Номер 13.20, страница 82 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.20, страница 82.

Условие.

13.20*. Найдите сопротивление $\text{R}$ проволочного куба (см. рисунок) между точками $A_1$ и $\text{D}$. Сопротивление каждого ребра $R_0$.

К задачам

13.19 – 13.21

Решение.

Решение 2.

Дано:

Проволочный куб, состоящий из 12 рёбер.

Сопротивление каждого ребра: $R_0$.

Точки подключения: $A_1$ и $\text{D}$.

Найти:

Эквивалентное сопротивление $\text{R}$ между точками $A_1$ и $\text{D}$.

Решение:

Для нахождения эквивалентного сопротивления воспользуемся методом, основанным на симметрии схемы. Мы определим вершины куба, имеющие одинаковый электрический потенциал, и упростим схему.

1. Определение эквипотенциальных точек.

Потенциал в каждой вершине определяется её расположением относительно входа ($A_1$) и выхода ($\text{D}$). Вершины, имеющие симметричное расположение, будут иметь одинаковый потенциал.
- Вершины A и $D_1$ симметричны. Кратчайший путь от входа $A_1$ до A составляет 1 ребро ($A_1 \to A$), и кратчайший путь от выхода $\text{D}$ до A также составляет 1 ребро ($D \to A$). Аналогично для вершины $D_1$: путь $A_1 \to D_1$ (1 ребро) и путь $D \to D_1$ (1 ребро). Поэтому их потенциалы равны: $\phi_A = \phi_{D_1}$.
- Вершины B и $C_1$ также симметричны. Кратчайший путь от $A_1$ до B составляет 2 ребра (например, $A_1 \to A \to B$), и от $\text{D}$ до B также 2 ребра (например, $D \to C \to B$). Аналогично для $C_1$: путь $A_1 \to C_1$ (2 ребра) и $D \to C_1$ (2 ребра). Следовательно, их потенциалы равны: $\phi_B = \phi_{C_1}$.

2. Применение законов Кирхгофа.

Обозначим потенциалы вершин: $\phi_{A_1} = V$, $\phi_D = 0$, $\phi_A = \phi_{D_1} = \phi_a$, $\phi_B = \phi_{C_1} = \phi_b$, $\phi_{B_1} = \phi_{b1}$, $\phi_C = \phi_c$. Сопротивление каждого ребра равно $R_0$. Запишем уравнения первого закона Кирхгофа (закон токов) для узлов A, $B_1$, B и C, используя установленную симметрию.

Для узла A:
$I_{A_1 \to A} = I_{A \to D} + I_{A \to B} \implies \frac{V - \phi_a}{R_0} = \frac{\phi_a - 0}{R_0} + \frac{\phi_a - \phi_b}{R_0}$
$V - \phi_a = 2\phi_a - \phi_b \implies V + \phi_b = 3\phi_a$ (1)

Для узла $B_1$ (ток от $A_1$ разветвляется на $\text{B}$ и $C_1$, которые имеют одинаковый потенциал $\phi_b$):
$\frac{V - \phi_{b1}}{R_0} = \frac{\phi_{b1} - \phi_b}{R_0} + \frac{\phi_{b1} - \phi_b}{R_0}$
$V - \phi_{b1} = 2(\phi_{b1} - \phi_b) \implies V + 2\phi_b = 3\phi_{b1}$ (2)

Для узла C (токи от $\text{B}$ и $C_1$ сходятся и идут к $\text{D}$):
$\frac{\phi_b - \phi_c}{R_0} + \frac{\phi_b - \phi_c}{R_0} = \frac{\phi_c - 0}{R_0}$
$2(\phi_b - \phi_c) = \phi_c \implies 2\phi_b = 3\phi_c \implies \phi_c = \frac{2}{3}\phi_b$ (3)

Для узла B (сумма токов равна нулю):
$I_{A \to B} + I_{B_1 \to B} + I_{C \to B} = 0 \implies \frac{\phi_a - \phi_b}{R_0} + \frac{\phi_{b1} - \phi_b}{R_0} + \frac{\phi_c - \phi_b}{R_0} = 0$
$\phi_a + \phi_{b1} + \phi_c = 3\phi_b$ (4)

3. Решение системы уравнений.

Подставим $\phi_c$ из (3) в (4):
$\phi_a + \phi_{b1} + \frac{2}{3}\phi_b = 3\phi_b \implies \phi_a + \phi_{b1} = \frac{7}{3}\phi_b$ (5)

Выразим $\phi_a$ из (1) и $\phi_{b1}$ из (2): $\phi_a = \frac{V + \phi_b}{3}$ и $\phi_{b1} = \frac{V + 2\phi_b}{3}$.
Подставим эти выражения в (5):
$\frac{V + \phi_b}{3} + \frac{V + 2\phi_b}{3} = \frac{7}{3}\phi_b$
$2V + 3\phi_b = 7\phi_b \implies 2V = 4\phi_b \implies \phi_b = \frac{V}{2}$

Теперь найдём $\phi_a$: $\phi_a = \frac{V + V/2}{3} = \frac{3V/2}{3} = \frac{V}{2}$.

Таким образом, мы получили, что $\phi_a = \phi_b$. Это означает, что разность потенциалов между точками A и B, а также между симметричными им точками $D_1$ и $C_1$, равна нулю. Следовательно, ток через рёбра A-B и $D_1-C_1$ не течёт, и эти рёбра можно удалить из схемы, не изменяя общего сопротивления.

4. Расчёт сопротивления упрощённой схемы.

После удаления рёбер A-B и $D_1-C_1$ схема распадается на три параллельные ветви, подключённые между точками $A_1$ и $\text{D}$.

Ветвь 1: $A_1 \to A \to D$. Состоит из двух последовательных резисторов. Её сопротивление $R_1 = R_0 + R_0 = 2R_0$.

Ветвь 2: $A_1 \to D_1 \to D$. Аналогично, её сопротивление $R_2 = R_0 + R_0 = 2R_0$.

Ветвь 3: $A_1 \to B_1 \to \dots \to C \to D$. Эта ветвь состоит из трёх участков, соединенных последовательно:
- Участок $A_1 \to B_1$ с сопротивлением $R_0$.
- Участок от $B_1$ до C. Он состоит из двух параллельных цепей: $B_1 \to B \to C$ (сопротивление $2R_0$) и $B_1 \to C_1 \to C$ (сопротивление $2R_0$). Эквивалентное сопротивление этого участка: $R_{B_1C} = \frac{2R_0 \cdot 2R_0}{2R_0 + 2R_0} = R_0$.
- Участок $C \to D$ с сопротивлением $R_0$.
Полное сопротивление третьей ветви: $R_3 = R_{A_1B_1} + R_{B_1C} + R_{CD} = R_0 + R_0 + R_0 = 3R_0$.

Общее эквивалентное сопротивление $\text{R}$ находится как сопротивление трёх параллельно соединённых ветвей:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} = \frac{1}{2R_0} + \frac{1}{2R_0} + \frac{1}{3R_0} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{3R_0} = \frac{3+1}{3R_0} = \frac{4}{3R_0}$

Отсюда находим $\text{R}$: $R = \frac{3}{4}R_0$.

Ответ: $R = \frac{3}{4}R_0$.