Номер 13.26, страница 83 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.26, страница 83.

Условие.

13.26*. Цепь (см. задачу 13.25) содержит $\text{N}$ ячеек. Между точками $\text{C}$ и $\text{D}$ включено сопротивление $R_x = (\sqrt{3}-1)R$. Во сколько раз напряжение на выходе цепи (между точками $\text{C}$ и $\text{D}$) меньше напряжения на входе (между точками $\text{A}$ и $\text{B}$)?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Цепь, состоящая из $\text{N}$ одинаковых ячеек.

Сопротивление нагрузки: $R_x = (\sqrt{3}-1)R$.

Задача 13.25, на которую ссылается условие, описывает стандартную цепочечную схему (длинную линию), где каждая ячейка представляет собой Г-образный четырехполюсник с последовательным сопротивлением $\text{R}$ и параллельным сопротивлением $\text{R}$.

Найти:

Отношение напряжения на входе цепи $U_{вх}$ к напряжению на выходе $U_{вых}$, т.е. $k = U_{вх}/U_{вых}$.

Решение:

Рассмотрим цепь, состоящую из $\text{N}$ одинаковых Г-образных ячеек. Нагрузкой цепи является сопротивление $R_x$.

Введем обозначения: $U_k$ и $I_k$ – напряжение и ток на входе $\text{k}$-й ячейки, если считать от конца цепи (от нагрузки). Тогда напряжение на выходе всей цепи (на нагрузке $R_x$) будет $U_0 = U_{вых}$, а напряжение на входе всей цепи – $U_N = U_{вх}$.

Для $\text{k}$-й ячейки (состоящей из последовательного резистора $\text{R}$ и параллельного резистора $\text{R}$) можно записать уравнения на основе законов Кирхгофа. Вход этой ячейки – это $(U_k, I_k)$, а выход – $(U_{k-1}, I_{k-1})$, который является входом для $(k-1)$-й ячейки.

1. По второму закону Кирхгофа для контура, включающего последовательный резистор и вход $(k-1)$-й ячейки:

$U_k = I_k R + U_{k-1}$

2. По первому закону Кирхгофа для узла между последовательным и параллельным резисторами:

$I_k = \frac{U_{k-1}}{R} + I_{k-1}$

Наша цель – найти рекуррентное соотношение для напряжений $U_k$. Выразим ток $I_k$ из первого уравнения и подставим во второе, предварительно сдвинув индексы.

Из первого уравнения: $I_k = \frac{U_k - U_{k-1}}{R}$.

Аналогично для $(k+1)$-й ячейки: $I_{k+1} = \frac{U_{k+1} - U_k}{R}$.

Из второго уравнения для $(k+1)$-й ячейки: $I_{k+1} = \frac{U_k}{R} + I_k$.

Подставим выражения для токов в последнее уравнение:

$\frac{U_{k+1} - U_k}{R} = \frac{U_k}{R} + \frac{U_k - U_{k-1}}{R}$

Умножив обе части на $\text{R}$, получим:

$U_{k+1} - U_k = U_k + U_k - U_{k-1}$

$U_{k+1} - 3U_k + U_{k-1} = 0$

Это линейное однородное рекуррентное соотношение второго порядка. Его решение ищется в виде $U_k = A \cdot \lambda^k$. Подстановка в уравнение дает характеристическое уравнение:

$\lambda^2 - 3\lambda + 1 = 0$

Корнями этого уравнения являются:

$\lambda_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9-4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Общее решение для $U_k$ имеет вид:

$U_k = C_1 \lambda_1^k + C_2 \lambda_2^k$,

где $C_1$ и $C_2$ – константы, определяемые из начальных условий.

Найдем начальные условия при $k=0$ и $k=1$.

При $k=0$ имеем напряжение на нагрузке: $U_0 = U_{вых}$.

При $k=1$ имеем напряжение $U_1$ на входе первой (от конца) ячейки. Для этой ячейки выходное напряжение $U_0$, а ток на выходе $I_0 = U_0/R_x$. Используя уравнения для ячейки:

$I_1 = \frac{U_0}{R} + I_0 = \frac{U_0}{R} + \frac{U_0}{R_x} = U_0(\frac{1}{R} + \frac{1}{R_x})$

$U_1 = I_1 R + U_0 = U_0(\frac{1}{R} + \frac{1}{R_x})R + U_0 = U_0(1 + \frac{R}{R_x}) + U_0 = U_0(2 + \frac{R}{R_x})$

Подставим значение $R_x = (\sqrt{3}-1)R$:

$\frac{U_1}{U_0} = 2 + \frac{R}{(\sqrt{3}-1)R} = 2 + \frac{1}{\sqrt{3}-1} = 2 + \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = 2 + \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{4+\sqrt{3}+1}{2} = \frac{5+\sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем константы $C_1$ и $C_2$.

При $k=0$: $U_0 = C_1 + C_2$

При $k=1$: $U_1 = C_1 \lambda_1 + C_2 \lambda_2$

Решая эту систему относительно $C_1$ и $C_2$, получаем:

$C_1 = \frac{U_1 - U_0 \lambda_2}{\lambda_1 - \lambda_2}$

$C_2 = \frac{U_0 \lambda_1 - U_1}{\lambda_1 - \lambda_2}$

Тогда напряжение на входе всей цепи $U_N$ равно:

$U_N = C_1 \lambda_1^N + C_2 \lambda_2^N = \frac{(U_1 - U_0 \lambda_2)\lambda_1^N + (U_0 \lambda_1 - U_1)\lambda_2^N}{\lambda_1 - \lambda_2}$

$U_N = \frac{U_1(\lambda_1^N - \lambda_2^N) - U_0(\lambda_1\lambda_2^N - \lambda_2\lambda_1^N)}{\lambda_1 - \lambda_2}$

Так как $\lambda_1\lambda_2=1$ (произведение корней характеристического уравнения), то:

$U_N = \frac{U_1(\lambda_1^N - \lambda_2^N) - U_0(\lambda_2^{N-1} - \lambda_1^{N-1})}{\lambda_1 - \lambda_2} = \frac{U_1(\lambda_1^N - \lambda_2^N) + U_0(\lambda_1^{N-1} - \lambda_2^{N-1})}{\lambda_1 - \lambda_2}$

Искомое отношение $k = U_N/U_0$:

$k = \frac{U_N}{U_0} = \frac{U_1}{U_0} \frac{\lambda_1^N - \lambda_2^N}{\lambda_1 - \lambda_2} + \frac{\lambda_1^{N-1} - \lambda_2^{N-1}}{\lambda_1 - \lambda_2}$

Подставим численные значения:

$\frac{U_1}{U_0} = \frac{5+\sqrt{3}}{2}$

$\lambda_1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$, $\lambda_2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$, $\lambda_1 - \lambda_2 = \sqrt{5}$

$k = \frac{5+\sqrt{3}}{2} \frac{\lambda_1^N - \lambda_2^N}{\sqrt{5}} + \frac{\lambda_1^{N-1} - \lambda_2^{N-1}}{\sqrt{5}}$

Данное выражение является точным решением задачи. Оно не упрощается до более простого вида без использования специальных функций (например, чисел Фибоначчи, так как $\lambda_1 = \phi^2$, где $\phi$ - золотое сечение, но наличие $\sqrt{3}$ в коэффициенте не приводит к сокращениям).

Ответ: Напряжение на выходе меньше напряжения на входе в $\text{k}$ раз, где $\text{k}$ определяется выражением:

$k = \frac{1}{\sqrt{5}} \left[ \left(\frac{5+\sqrt{3}}{2}\right) \left( \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^N - \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^N \right) + \left( \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{N-1} - \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{N-1} \right) \right]$