Номер 13.31, страница 84 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.31, страница 84.

Условие.

13.31*. На рисунке показана схема мостика Уитстона для измерения сопротивлений. Здесь $R_0$ — эталонное сопротивление, $R_x$ — неизвестное сопротивление. Скользящий контакт $\text{D}$, соединенный с гальванометром $\text{G}$, перемещается по проводу $\text{AB}$, имеющему большое сопротивление. Докажите, что ток через гальванометр не проходит, если выполнено условие $R_x / R_0 = l_1 / l_2$. Сопротивлением соединительных проводов можно пренебречь.

К задаче 13.31

Решение.

Решение 2.

Решение

Схема, показанная на рисунке, представляет собой измерительный мостик Уитстона. Ток через гальванометр $\text{G}$, подключенный между точками C и D, будет отсутствовать (равен нулю) тогда и только тогда, когда электрические потенциалы в этих точках равны:

$\phi_C = \phi_D$

Это условие эквивалентно равенству падений напряжения на участках AC и AD (или на участках CB и DB). Запишем это условие через падение напряжения от точки А:

$U_{AC} = U_{AD}$

Рассмотрим две параллельные ветви цепи, подключенные к источнику напряжения между точками A и B. Пусть напряжение между точками A и B равно $U_{AB}$.

1. Верхняя ветвь состоит из последовательно соединенных резисторов $R_x$ и $R_0$. Общее сопротивление этой ветви $R_{ACB} = R_x + R_0$. Ток, протекающий через эту ветвь, согласно закону Ома для участка цепи:

$I_{ACB} = \frac{U_{AB}}{R_x + R_0}$

Падение напряжения на резисторе $R_x$ (участок AC) равно:

$U_{AC} = I_{ACB} \cdot R_x = \frac{U_{AB}}{R_x + R_0} R_x$

2. Нижняя ветвь — это провод AB. Точка D делит этот провод на два участка AD и DB с длинами $l_1$ и $l_2$ соответственно. Так как провод однородный (имеет постоянное поперечное сечение и сделан из одного материала), его сопротивление прямо пропорционально длине. Обозначим сопротивление участка AD как $R_1$, а участка DB как $R_2$. Тогда:

$R_1 \propto l_1$ и $R_2 \propto l_2$, откуда следует, что $\frac{R_1}{R_2} = \frac{l_1}{l_2}$.

Общее сопротивление нижней ветви $R_{ADB} = R_1 + R_2$. Ток, протекающий через нее:

$I_{ADB} = \frac{U_{AB}}{R_1 + R_2}$

Падение напряжения на участке AD равно:

$U_{AD} = I_{ADB} \cdot R_1 = \frac{U_{AB}}{R_1 + R_2} R_1$

Приравниваем падения напряжения $U_{AC}$ и $U_{AD}$ в соответствии с условием отсутствия тока через гальванометр:

$\frac{U_{AB}}{R_x + R_0} R_x = \frac{U_{AB}}{R_1 + R_2} R_1$

Сокращаем $U_{AB}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{R_x}{R_x + R_0} = \frac{R_1}{R_1 + R_2}$

Преобразуем это выражение. "Перевернем" дроби:

$\frac{R_x + R_0}{R_x} = \frac{R_1 + R_2}{R_1}$

$1 + \frac{R_0}{R_x} = 1 + \frac{R_2}{R_1}$

$\frac{R_0}{R_x} = \frac{R_2}{R_1}$

Отсюда получаем соотношение для сбалансированного моста:

$\frac{R_x}{R_0} = \frac{R_1}{R_2}$

Теперь подставим в это соотношение найденную ранее зависимость сопротивлений участков провода от их длин:

$\frac{R_x}{R_0} = \frac{l_1}{l_2}$

Таким образом, мы доказали, что ток через гальванометр не проходит, если выполнено условие $R_x / R_0 = l_1 / l_2$. Это условие называется условием баланса моста Уитстона.

Ответ: Утверждение доказано.