Номер 13.32, страница 84 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.32, страница 84.

Условие.

13.32*. При сборке мостика Уитстона (см. задачу 13.31) ошиблись и поменяли местами гальванометр $\text{G}$ и ключ $\text{K}$. Как можно измерить неизвестное сопротивление $R_x$ с помощью такой схемы?

Решение.

Решение 2.

Даже если при сборке мостика Уитстона по ошибке поменяли местами гальванометр G и источник питания (ключ K), измерить неизвестное сопротивление $R_x$ с помощью такой схемы всё равно возможно. Условие баланса моста при такой перестановке не изменяется.

Дано:

Мостик Уитстона, в котором гальванометр G и ключ K (источник питания) поменяли местами.

Найти:

Способ измерения неизвестного сопротивления $R_x$ с помощью такой схемы.

Решение:

Докажем, что условие баланса мостика Уитстона не изменяется при взаимной перестановке источника питания и гальванометра. Это свойство является следствием принципа взаимности для линейных электрических цепей и называется свойством сопряжённых ветвей мостовой схемы.

Пусть вершины моста обозначены A, B, C, D. В стандартной схеме источник питания подключен к диагонали AC, а гальванометр — к диагонали BD. Сопротивления в плечах моста: $R_{AB} = R_1$, $R_{BC} = R_2$, $R_{AD} = R_3$, $R_{DC} = R_x$.

Условие баланса моста в стандартной схеме — это отсутствие тока через гальванометр ($I_G = 0$), что соответствует равенству потенциалов в точках B и D: $\phi_B = \phi_D$. При этом ток, входящий в узел B из плеча AB, полностью уходит в плечо BC ($I_{AB} = I_{BC}$), а ток из плеча AD — в плечо DC ($I_{AD} = I_{DC}$). Из равенства потенциалов $\phi_B = \phi_D$ следуют равенства падений напряжений:

$V_{AB} = V_{AD} \implies I_{AB}R_1 = I_{AD}R_3$

$V_{BC} = V_{DC} \implies I_{BC}R_2 = I_{DC}R_x$

Подставляя $I_{AB} = I_{BC}$ и $I_{AD} = I_{DC}$ во второе уравнение, получаем $I_{AB}R_2 = I_{AD}R_x$. Теперь разделим это уравнение на первое:

$\frac{I_{AB}R_2}{I_{AB}R_1} = \frac{I_{AD}R_x}{I_{AD}R_3} \implies \frac{R_2}{R_1} = \frac{R_x}{R_3}$

Отсюда получаем классическое условие баланса: $R_1 R_x = R_2 R_3$.

Теперь рассмотрим схему, в которой источник питания и гальванометр поменялись местами. Источник подключен к диагонали BD, а гальванометр — к диагонали AC.

Условие баланса в этой схеме — отсутствие тока через гальванометр, то есть $\phi_A = \phi_C$. При этом ток из плеча BA равен току в плече AD ($I_{BA} = I_{AD}$), а ток из плеча BC равен току в плече CD ($I_{BC} = I_{CD}$). Из равенства потенциалов $\phi_A = \phi_C$ следуют равенства падений напряжений:

$V_{BA} = V_{BC} \implies I_{BA}R_1 = I_{BC}R_2$ (относительно точки B)

$V_{DA} = V_{DC} \implies I_{AD}R_3 = I_{CD}R_x$ (относительно точки D)

Подставляя $I_{BA} = I_{AD}$ и $I_{BC} = I_{CD}$ во второе уравнение, получаем $I_{BA}R_3 = I_{BC}R_x$. Теперь разделим это уравнение на первое:

$\frac{I_{BA}R_3}{I_{BA}R_1} = \frac{I_{BC}R_x}{I_{BC}R_2} \implies \frac{R_3}{R_1} = \frac{R_x}{R_2}$

Это приводит к тому же самому условию баланса: $R_1 R_x = R_2 R_3$.

Таким образом, несмотря на ошибку в сборке, схема остается работоспособной для измерения сопротивления. Процедура измерения не меняется:

1. Необходимо замкнуть ключ K, чтобы подать напряжение на мост.

2. Затем, изменяя сопротивление одного из известных плеч моста (обычно для этого используют магазин сопротивлений, например, в качестве $R_2$), нужно добиться, чтобы ток через гальванометр G стал равен нулю.

3. В момент, когда гальванометр покажет ноль, мост считается сбалансированным.

4. Неизвестное сопротивление $R_x$ вычисляется по формуле условия баланса: $R_x = \frac{R_2 R_3}{R_1}$.

Ответ: Измерение неизвестного сопротивления $R_x$ можно провести так же, как и с помощью правильно собранного мостика Уитстона. Поскольку условие баланса моста ($R_1 R_x = R_2 R_3$) не меняется, если поменять местами источник питания и гальванометр, для измерения $R_x$ необходимо, изменяя сопротивление одного из известных резисторов (например, $R_2$), добиться нулевого показания гальванометра. После достижения баланса неизвестное сопротивление находится из соотношения $R_x = \frac{R_2 R_3}{R_1}$.