Номер 13.35, страница 85 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.35, страница 85.

Условие.

13.35*. Какой ток идет через проводник $\text{AB}$ (см. рисунок), если $R_1 = R_4 = R$, а $R_2 = R_3 = 3R$? К цепи приложено напряжение $\text{U}$. Сопротивлением проводника $\text{AB}$ можно пренебречь.

К задаче 13.35

Решение.

Решение 2.

Дано:

$R_1 = R_4 = R$

$R_2 = R_3 = 3R$

Напряжение на клеммах цепи: $\text{U}$

Сопротивление проводника AB: $R_{AB} = 0$

Найти:

Ток через проводник AB: $I_{AB}$

Решение:

Поскольку сопротивлением проводника AB можно пренебречь, его можно считать идеальным проводником. Это означает, что точки A и B имеют одинаковый электрический потенциал. Обозначим этот потенциал как $\phi$.

Примем потенциал отрицательной клеммы источника за 0, тогда потенциал положительной клеммы будет равен $\text{U}$.

Используя закон Ома для каждого участка цепи, выразим токи, протекающие через резисторы:

Ток через $R_1$: $I_1 = \frac{U - \phi_A}{R_1} = \frac{U - \phi}{R}$

Ток через $R_2$: $I_2 = \frac{\phi_A - 0}{R_2} = \frac{\phi}{3R}$

Ток через $R_3$: $I_3 = \frac{U - \phi_B}{R_3} = \frac{U - \phi}{3R}$

Ток через $R_4$: $I_4 = \frac{\phi_B - 0}{R_4} = \frac{\phi}{R}$

Теперь применим первый закон Кирхгофа (закон сохранения заряда) для узлов. Сумма токов, входящих в любой узел, равна сумме токов, выходящих из него. Рассмотрим узел, в котором соединяются резисторы $R_1$ и $R_3$ с положительной клеммой, и узел, где $R_2$ и $R_4$ соединяются с отрицательной. Общий ток, входящий в схему, равен общему току, выходящему из нее:

$I_1 + I_3 = I_2 + I_4$

Подставим выражения для токов в это уравнение:

$\frac{U - \phi}{R} + \frac{U - \phi}{3R} = \frac{\phi}{3R} + \frac{\phi}{R}$

Вынесем общие множители за скобки:

$(U - \phi)(\frac{1}{R} + \frac{1}{3R}) = \phi(\frac{1}{3R} + \frac{1}{R})$

Так как множители в скобках одинаковы, мы можем их сократить, при условии что они не равны нулю, что очевидно.

$U - \phi = \phi$

$2\phi = U$

$\phi = \frac{U}{2}$

Теперь, зная потенциал $\phi$, мы можем найти ток через проводник AB, $I_{AB}$. Применим первый закон Кирхгофа для узла A. Предположим, что ток $I_{AB}$ течет из точки A в точку B.

$I_1 = I_2 + I_{AB}$

Отсюда выразим $I_{AB}$:

$I_{AB} = I_1 - I_2$

Подставим значения токов $I_1$ и $I_2$, используя найденное значение $\phi$:

$I_1 = \frac{U - \frac{U}{2}}{R} = \frac{\frac{U}{2}}{R} = \frac{U}{2R}$

$I_2 = \frac{\frac{U}{2}}{3R} = \frac{U}{6R}$

Теперь вычислим ток $I_{AB}$:

$I_{AB} = \frac{U}{2R} - \frac{U}{6R} = \frac{3U - U}{6R} = \frac{2U}{6R} = \frac{U}{3R}$

Так как полученное значение положительно, наше предположение о направлении тока (от A к B) было верным.

Ответ: ток, идущий через проводник AB, равен $I_{AB} = \frac{U}{3R}$ и направлен от точки A к точке B.