Номер 13.41, страница 86 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.41, страница 86.

Условие.

13.41* Два соединенных последовательно вольтметра подключены к клеммам источника тока. Показания вольтметров $U_1 = 5,0$ В и $U_2 = 15$ В. Если подключить к источнику только первый вольтметр, он покажет $U_1' = 19$ В. Найдите ЭДС источника.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$U_1 = 5,0$ В

$U_2 = 15$ В

$U_1' = 19$ В

Найти:

$\mathcal{E}$

Решение:

Обозначим ЭДС источника как $\mathcal{E}$, его внутреннее сопротивление как $\text{r}$. Сопротивления первого и второго вольтметров обозначим как $R_1$ и $R_2$ соответственно. Вольтметры неидеальны, так как их показания зависят от схемы подключения.

1. Рассмотрим первый случай, когда два вольтметра соединены последовательно и подключены к источнику.

При последовательном соединении через оба вольтметра протекает один и тот же ток $\text{I}$. Согласно закону Ома для участка цепи, показания вольтметров равны:

$U_1 = I R_1$

$U_2 = I R_2$

Из этих двух уравнений можно найти соотношение сопротивлений вольтметров, разделив одно на другое:

$\frac{U_1}{U_2} = \frac{I R_1}{I R_2} = \frac{R_1}{R_2}$

$\frac{R_1}{R_2} = \frac{5,0}{15} = \frac{1}{3} \implies R_2 = 3R_1$

Напряжение на клеммах источника (напряжение на внешней цепи) равно сумме напряжений на последовательно соединенных вольтметрах:

$U_{ext} = U_1 + U_2 = 5,0 \text{ В} + 15 \text{ В} = 20 \text{ В}$

Согласно закону Ома для полной цепи, напряжение на клеммах источника связано с ЭДС и внутренним сопротивлением:

$U_{ext} = \mathcal{E} - I r$

Выразим ток $\text{I}$ через показания первого вольтметра $I = \frac{U_1}{R_1} = \frac{5,0}{R_1}$. Подставим это в формулу для напряжения на клеммах:

$20 = \mathcal{E} - \frac{5,0}{R_1} r$ (1)

2. Теперь рассмотрим второй случай, когда к источнику подключен только первый вольтметр.

В этом случае в цепи течет новый ток $I'$, а внешнее сопротивление равно $R_1$. Показание вольтметра $U_1'$ равно напряжению на клеммах источника.

$U_1' = 19 \text{ В}$

Ток в цепи $I' = \frac{U_1'}{R_1} = \frac{19}{R_1}$.

Запишем закон Ома для полной цепи для этого случая:

$U_1' = \mathcal{E} - I' r$

$19 = \mathcal{E} - \frac{19}{R_1} r$ (2)

3. Мы получили систему из двух уравнений (1) и (2) с неизвестными $\mathcal{E}$, $\text{r}$ и $R_1$. Решим эту систему.

Из уравнения (1) выразим отношение $\frac{r}{R_1}$:

$5,0 \frac{r}{R_1} = \mathcal{E} - 20 \implies \frac{r}{R_1} = \frac{\mathcal{E} - 20}{5,0}$

Из уравнения (2) также выразим отношение $\frac{r}{R_1}$:

$19 \frac{r}{R_1} = \mathcal{E} - 19 \implies \frac{r}{R_1} = \frac{\mathcal{E} - 19}{19}$

Приравняем правые части полученных выражений:

$\frac{\mathcal{E} - 20}{5,0} = \frac{\mathcal{E} - 19}{19}$

Решим это уравнение относительно $\mathcal{E}$:

$19 (\mathcal{E} - 20) = 5,0 (\mathcal{E} - 19)$

$19\mathcal{E} - 380 = 5\mathcal{E} - 95$

$19\mathcal{E} - 5\mathcal{E} = 380 - 95$

$14\mathcal{E} = 285$

$\mathcal{E} = \frac{285}{14} \approx 20,357 \text{ В}$

Округляя до трёх значащих цифр, получаем $\mathcal{E} \approx 20,4$ В.

Ответ: ЭДС источника равна $\mathcal{E} = \frac{285}{14} \text{ В} \approx 20,4 \text{ В}$.