Номер 13.47, страница 87 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.47, страница 87.

Условие.

13.47**. $\text{N}$ одинаковых элементов надо соединить в батарею согласно схеме, показанной на рисунке. Внутреннее сопротивление каждого элемента $\text{r}$. При каких значениях $\text{m}$ и $\text{n}$ сила тока через резистор с сопротивлением $\text{R}$, подключенный к батарее, будет наибольшей? Решите задачу при $N = 100$, $r = 1 \text{ Ом}$, $R = 2 \text{ Ом}$.

К задаче 13.47

Решение.

Решение 2.

Дано

Общее число элементов $N = 100$.

Внутреннее сопротивление одного элемента $r = 1$ Ом.

Сопротивление внешней нагрузки $R = 2$ Ом.

Найти:

Число параллельных ветвей $\text{m}$ и число последовательных элементов в каждой ветви $\text{n}$, при которых сила тока $\text{I}$ через резистор $\text{R}$ будет наибольшей.

Решение

Батарея состоит из $\text{m}$ параллельно соединенных ветвей, каждая из которых содержит $\text{n}$ последовательно соединенных элементов. Общее число элементов связано с $\text{m}$ и $\text{n}$ соотношением:

$N = m \cdot n$

Пусть ЭДС одного элемента равна $\mathcal{E}$, а его внутреннее сопротивление равно $\text{r}$.

Для одной ветви, состоящей из $\text{n}$ последовательных элементов, общая ЭДС и общее внутреннее сопротивление будут:

$\mathcal{E}_{\text{ветви}} = n \cdot \mathcal{E}$

$r_{\text{ветви}} = n \cdot r$

Когда $\text{m}$ таких ветвей соединяются параллельно, ЭДС всей батареи будет равна ЭДС одной ветви, а общее внутреннее сопротивление батареи $r_{\text{бат}}$ найдется из соотношения для параллельно соединенных сопротивлений:

$\mathcal{E}_{\text{бат}} = \mathcal{E}_{\text{ветви}} = n \mathcal{E}$

$\frac{1}{r_{\text{бат}}} = \sum_{i=1}^{m} \frac{1}{r_{\text{ветви}}} = \frac{m}{r_{\text{ветви}}} = \frac{m}{n r}$

Отсюда, внутреннее сопротивление всей батареи:

$r_{\text{бат}} = \frac{n r}{m}$

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $\text{I}$ через внешний резистор $\text{R}$ равна:

$I = \frac{\mathcal{E}_{\text{бат}}}{R + r_{\text{бат}}} = \frac{n \mathcal{E}}{R + \frac{nr}{m}}$

Так как $m = N/n$, подставим это выражение в формулу для тока, чтобы выразить его как функцию от одной переменной $\text{n}$:

$I(n) = \frac{n \mathcal{E}}{R + \frac{n r}{N/n}} = \frac{n \mathcal{E}}{R + \frac{n^2 r}{N}}$

Чтобы найти значение $\text{n}$, при котором ток $\text{I}$ максимален, нужно найти экстремум этой функции. Максимальный ток (и мощность) в нагрузке достигается, когда внутреннее сопротивление источника равно сопротивлению нагрузки:

$R = r_{\text{бат}} = \frac{n r}{m} = \frac{n r}{N/n} = \frac{n^2 r}{N}$

Отсюда находим оптимальное значение $\text{n}$:

$n^2 = \frac{N R}{r}$

$n = \sqrt{\frac{N R}{r}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$n = \sqrt{\frac{100 \cdot 2 \text{ Ом}}{1 \text{ Ом}}} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$

Поскольку числа $\text{n}$ и $\text{m}$ должны быть целыми, а также $\text{n}$ должно быть делителем $N=100$, мы должны выбрать целые значения $\text{n}$, являющиеся делителями 100 и наиболее близкие к найденному оптимальному значению $14.14$.

Делители числа 100: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100.

Наиболее близкие к $14.14$ делители – это 10 и 20. Проверим оба варианта.

1. Если $n=10$, то $m = N/n = 100/10 = 10$.

Сила тока в этом случае будет (значение $\mathcal{E}$ неизвестно, но оно является постоянным множителем):

$I_1 = \frac{10 \mathcal{E}}{2 \text{ Ом} + \frac{10 \cdot 1 \text{ Ом}}{10}} = \frac{10 \mathcal{E}}{2 + 1} = \frac{10}{3} \mathcal{E}$

2. Если $n=20$, то $m = N/n = 100/20 = 5$.

Сила тока в этом случае будет:

$I_2 = \frac{20 \mathcal{E}}{2 \text{ Ом} + \frac{20 \cdot 1 \text{ Ом}}{5}} = \frac{20 \mathcal{E}}{2 + 4} = \frac{20}{6} \mathcal{E} = \frac{10}{3} \mathcal{E}$

Так как $I_1 = I_2$, оба варианта соединения элементов дают одинаковую максимальную силу тока.

Ответ:

Сила тока будет наибольшей при двух комбинациях: $m=10, n=10$ или $m=5, n=20$.