Номер 13.51, страница 88 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.51, страница 88.

Условие.

13.51. Имеются два последовательно соединенных элемента с ЭДС $\mathcal{E}_1$ и $\mathcal{E}_2$ и внутренними сопротивлениями $r_1$ и $r_2$. При каком внешнем сопротивлении $\text{R}$ напряжение на зажимах одного из элементов равно нулю? На зажимах какого именно элемента это возможно?

Решение.

Решение 2.

Дано:

ЭДС первого элемента: $E_1$

Внутреннее сопротивление первого элемента: $r_1$

ЭДС второго элемента: $E_2$

Внутреннее сопротивление второго элемента: $r_2$

Внешнее сопротивление: $\text{R}$

Найти:

При каком $\text{R}$ напряжение на зажимах одного из элементов равно нулю?

На зажимах какого элемента это возможно?

Решение:

Последовательное соединение элементов может быть двух типов: согласное (когда ЭДС складываются) и встречное (когда ЭДС вычитаются). Рассотрим оба случая.

1. Согласное соединение

При согласном соединении элементы подключаются разноименными полюсами друг к другу (например, «+» первого к «-» второго). Общая ЭДС цепи будет равна сумме ЭДС элементов:

$E_{общ} = E_1 + E_2$

Общее сопротивление цепи равно сумме всех сопротивлений:

$R_{общ} = R + r_1 + r_2$

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока в ней равна:

$I = \frac{E_{общ}}{R_{общ}} = \frac{E_1 + E_2}{R + r_1 + r_2}$

При согласном соединении оба элемента работают как источники, то есть разряжаются. Напряжение на зажимах каждого элемента определяется как его ЭДС минус падение напряжения на его внутреннем сопротивлении:

$U_1 = E_1 - I r_1$

$U_2 = E_2 - I r_2$

Рассмотрим условие, при котором напряжение на зажимах первого элемента равно нулю ($U_1 = 0$):

$E_1 - I r_1 = 0 \implies E_1 = I r_1$

Подставим выражение для силы тока $\text{I}$:

$E_1 = \frac{E_1 + E_2}{R + r_1 + r_2} \cdot r_1$

Выразим отсюда внешнее сопротивление $\text{R}$:

$E_1 (R + r_1 + r_2) = (E_1 + E_2) r_1$

$E_1 R + E_1 r_1 + E_1 r_2 = E_1 r_1 + E_2 r_1$

$E_1 R = E_2 r_1 - E_1 r_2$

$R = \frac{E_2 r_1 - E_1 r_2}{E_1} = \frac{E_2}{E_1}r_1 - r_2$

Сопротивление $\text{R}$ не может быть отрицательным ($R \ge 0$), следовательно, это условие возможно только если:

$E_2 r_1 - E_1 r_2 \ge 0 \implies E_2 r_1 \ge E_1 r_2 \implies \frac{E_2}{r_2} \ge \frac{E_1}{r_1}$

Величина $E/r$ представляет собой ток короткого замыкания для источника. Таким образом, напряжение на зажимах первого элемента может быть равно нулю, если ток короткого замыкания второго элемента больше или равен току короткого замыкания первого.

Аналогично, рассмотрим условие $U_2 = 0$:

$E_2 - I r_2 = 0 \implies E_2 = I r_2$

$E_2 = \frac{E_1 + E_2}{R + r_1 + r_2} \cdot r_2$

$E_2 (R + r_1 + r_2) = (E_1 + E_2) r_2$

$E_2 R + E_2 r_1 + E_2 r_2 = E_1 r_2 + E_2 r_2$

$E_2 R = E_1 r_2 - E_2 r_1$

$R = \frac{E_1 r_2 - E_2 r_1}{E_2} = \frac{E_1}{E_2}r_2 - r_1$

Это возможно при условии $R \ge 0$, то есть:

$E_1 r_2 - E_2 r_1 \ge 0 \implies E_1 r_2 \ge E_2 r_1 \implies \frac{E_1}{r_1} \ge \frac{E_2}{r_2}$

Итак, при согласном соединении напряжение может стать равным нулю на зажимах того элемента, у которого отношение ЭДС к внутреннему сопротивлению (ток короткого замыкания) меньше.

2. Встречное соединение

При встречном соединении элементы подключаются одноименными полюсами (например, «+» к «+»). Пусть для определенности $E_1 > E_2$. Тогда общая ЭДС цепи равна разности ЭДС:

$E_{общ} = E_1 - E_2$

Ток в цепи будет направлен в сторону действия большего ЭДС (от $E_1$):

$I = \frac{E_1 - E_2}{R + r_1 + r_2}$

В этом случае первый, более мощный элемент, разряжается, и напряжение на его зажимах:

$U_1 = E_1 - I r_1$

Второй, более слабый элемент, будет заряжаться (ток течет через него против его ЭДС), и напряжение на его зажимах будет:

$U_2 = E_2 + I r_2$

Проверим, может ли напряжение на зажимах второго элемента стать равным нулю ($U_2 = 0$):

$E_2 + I r_2 = 0$

Поскольку $E_2 > 0$, $I > 0$ (т.к. $E_1 > E_2$) и $r_2 > 0$, их сумма не может быть равна нулю. Следовательно, на зажимах заряжаемого (более слабого) элемента напряжение не может быть равно нулю.

Проверим, может ли напряжение на зажимах первого элемента стать равным нулю ($U_1 = 0$):

$E_1 - I r_1 = 0 \implies I = \frac{E_1}{r_1}$

Приравняем два выражения для силы тока:

$\frac{E_1}{r_1} = \frac{E_1 - E_2}{R + r_1 + r_2}$

$E_1(R + r_1 + r_2) = r_1(E_1 - E_2)$

$E_1 R + E_1 r_1 + E_1 r_2 = E_1 r_1 - E_2 r_1$

$E_1 R = - E_2 r_1 - E_1 r_2$

$R = -\frac{E_2 r_1 + E_1 r_2}{E_1}$

Поскольку все величины $E_1, E_2, r_1, r_2$ положительны, значение $\text{R}$ получается отрицательным, что физически невозможно.

Таким образом, при встречном соединении напряжение на зажимах ни одного из элементов не может быть равно нулю.

Вывод: Ситуация, описанная в задаче, возможна только при согласном соединении элементов.

Ответ: Напряжение на зажимах одного из элементов может быть равно нулю только при их согласном соединении. Это возможно на зажимах того элемента, у которого отношение ЭДС к внутреннему сопротивлению (ток короткого замыкания) меньше.
Если $\frac{E_1}{r_1} < \frac{E_2}{r_2}$, то напряжение может стать равным нулю на зажимах первого элемента при внешнем сопротивлении $R = \frac{E_2 r_1 - E_1 r_2}{E_1}$.
Если $\frac{E_2}{r_2} < \frac{E_1}{r_1}$, то напряжение может стать равным нулю на зажимах второго элемента при внешнем сопротивлении $R = \frac{E_1 r_2 - E_2 r_1}{E_2}$.