Номер 13.58, страница 89 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.58, страница 89.

Условие.

13.58. Найдите напряжения $U_1$ и $U_2$ на конденсаторах с емкостями $C_1$ и $C_2$ (см. рисунок).

Решение.

Решение 2.

Решение

В данной схеме источник ЭДС $\mathcal{E}$ является источником постоянного напряжения. Когда цепь замыкается, конденсаторы начинают заряжаться. По прошествии достаточно длительного времени процесс зарядки прекращается, и в цепи устанавливается стационарный режим. В стационарном режиме постоянный ток через конденсаторы не течет, так как они представляют собой разрыв в цепи для постоянного тока.

Поскольку ток не течет через ветви с конденсаторами $C_1$, $C_2$ и $\text{C}$, то ток через резистор $\text{R}$, который соединяет эти ветви, также будет равен нулю ($I_R = 0$).

Согласно закону Ома для участка цепи, падение напряжения на резисторе $\text{R}$ равно:

$U_R = I_R \cdot R = 0 \cdot R = 0$

Нулевое падение напряжения на резисторе означает, что потенциалы точек, между которыми он включен, одинаковы. Таким образом, схему можно рассматривать как две независимые параллельные ветви, подключенные к источнику ЭДС.

Нас интересует верхняя ветвь, где последовательно соединены конденсаторы с емкостями $C_1$ и $C_2$. Общее напряжение, приложенное к этой ветви, равно ЭДС источника $\mathcal{E}$.

При последовательном соединении конденсаторов заряды на них одинаковы:

$q_1 = q_2 = q$

Сумма напряжений на конденсаторах равна общему напряжению на ветви:

$U_1 + U_2 = \mathcal{E}$

Используя формулу, связывающую заряд, емкость и напряжение ($q = C \cdot U$), выразим напряжения $U_1$ и $U_2$:

$U_1 = \frac{q}{C_1}$

$U_2 = \frac{q}{C_2}$

Подставим эти выражения в уравнение для суммы напряжений:

$\frac{q}{C_1} + \frac{q}{C_2} = \mathcal{E}$

Вынесем общий заряд $\text{q}$ за скобки:

$q \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \right) = \mathcal{E}$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$q \frac{C_1 + C_2}{C_1 C_2} = \mathcal{E}$

Отсюда выразим заряд $\text{q}$:

$q = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \mathcal{E}$

Теперь, зная заряд $\text{q}$, мы можем найти напряжения $U_1$ и $U_2$:

$U_1 = \frac{q}{C_1} = \frac{1}{C_1} \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \mathcal{E} = \frac{C_2 \mathcal{E}}{C_1 + C_2}$

$U_2 = \frac{q}{C_2} = \frac{1}{C_2} \cdot \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \mathcal{E} = \frac{C_1 \mathcal{E}}{C_1 + C_2}$

Ответ: Напряжение на конденсаторе с емкостью $C_1$ равно $U_1 = \frac{C_2 \mathcal{E}}{C_1 + C_2}$, а напряжение на конденсаторе с емкостью $C_2$ равно $U_2 = \frac{C_1 \mathcal{E}}{C_1 + C_2}$.