Номер 13.64, страница 90 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.64, страница 90.

Условие.

13.64. Электрический нагреватель питается от $\text{N}$ одинаковых аккумуляторов, каждый из которых имеет внутреннее сопротивление $\text{r}$. Нагреватель потребляет одинаковую мощность как при последовательном, так и при параллельном соединении аккумуляторов. Найдите сопротивление нагревателя $\text{R}$.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Количество одинаковых аккумуляторов: $\text{N}$

Внутреннее сопротивление каждого аккумулятора: $\text{r}$

Сопротивление нагревателя: $\text{R}$

Мощность при последовательном соединении: $P_{посл}$

Мощность при параллельном соединении: $P_{пар}$

$P_{посл} = P_{пар}$

Найти:

$\text{R}$

Решение:

Пусть ЭДС каждого аккумулятора равна $\mathcal{E}$. Мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении $\text{R}$, определяется формулой $P = I^2 R$, где $\text{I}$ — сила тока в цепи.

1. Последовательное соединение аккумуляторов.

При последовательном соединении $\text{N}$ одинаковых источников их общая ЭДС и общее внутреннее сопротивление равны:

$\mathcal{E}_{посл} = N \mathcal{E}$

$r_{посл} = N r$

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока в цепи будет:

$I_{посл} = \frac{\mathcal{E}_{посл}}{R + r_{посл}} = \frac{N \mathcal{E}}{R + N r}$

Мощность, потребляемая нагревателем:

$P_{посл} = I_{посл}^2 R = \left(\frac{N \mathcal{E}}{R + N r}\right)^2 R$

2. Параллельное соединение аккумуляторов.

При параллельном соединении $\text{N}$ одинаковых источников их общая ЭДС и общее внутреннее сопротивление равны:

$\mathcal{E}_{пар} = \mathcal{E}$

$r_{пар} = \frac{r}{N}$

Сила тока в цепи в этом случае будет:

$I_{пар} = \frac{\mathcal{E}_{пар}}{R + r_{пар}} = \frac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{N}}$

Мощность, потребляемая нагревателем:

$P_{пар} = I_{пар}^2 R = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{N}}\right)^2 R$

3. Нахождение сопротивления R.

По условию задачи, мощности в обоих случаях равны: $P_{посл} = P_{пар}$.

$\left(\frac{N \mathcal{E}}{R + N r}\right)^2 R = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + \frac{r}{N}}\right)^2 R$

Сократим обе части уравнения на $R \mathcal{E}^2$ (так как $R \neq 0$ и $\mathcal{E} \neq 0$):

$\frac{N^2}{(R + N r)^2} = \frac{1}{(R + \frac{r}{N})^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку все величины положительные, получаем:

$\frac{N}{R + N r} = \frac{1}{R + \frac{r}{N}}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$N(R + \frac{r}{N}) = 1 \cdot (R + N r)$

$N R + r = R + N r$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\text{R}$, в левой части, а остальные — в правой:

$N R - R = N r - r$

$R(N - 1) = r(N - 1)$

Так как в задаче рассматриваются два различных типа соединения, количество аккумуляторов $N > 1$, следовательно, $(N - 1) \neq 0$. Разделим обе части на $(N - 1)$:

$R = r$

Таким образом, сопротивление нагревателя равно внутреннему сопротивлению одного аккумулятора.

Ответ: $R = r$