Номер 13.67, страница 90 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.67, страница 90.

Условие.

13.67. На участке AB цепи (см. рисунок) выделяется одинаковая мощность при разомкнутом и замкнутом ключе. Найдите сопротивление $R_x$, если $R_0 = 20 \text{ Ом}$. Напряжение $\text{U}$ считайте неизменным.

К задаче 13.67

Решение.

Решение 2.

Дано:

Сопротивление резистора $R_0 = 20$ Ом.

Мощность на участке AB одинакова при разомкнутом и замкнутом ключе ($P_1 = P_2$).

Напряжение источника $\text{U}$ постоянно.

Найти:

Сопротивление $R_x$.

Решение:

Для решения задачи рассмотрим два состояния цепи: с разомкнутым и замкнутым ключом, и найдем выражения для мощности, выделяемой на участке AB в каждом случае.

1. Ключ разомкнут.

Когда ключ разомкнут, ток на участке AB протекает только по нижней ветви, где два резистора $R_0$ соединены последовательно. Сопротивление участка AB в этом случае ($R_{AB1}$) равно:

$R_{AB1} = R_0 + R_0 = 2R_0$

Полное сопротивление всей цепи ($R_{общ1}$) — это последовательное соединение $R_x$ и $R_{AB1}$:

$R_{общ1} = R_x + R_{AB1} = R_x + 2R_0$

Сила тока в цепи, согласно закону Ома, равна:

$I_1 = \frac{U}{R_{общ1}} = \frac{U}{R_x + 2R_0}$

Мощность ($P_1$), выделяющаяся на участке AB, вычисляется по формуле $P = I^2 R$:

$P_1 = I_1^2 \cdot R_{AB1} = \left(\frac{U}{R_x + 2R_0}\right)^2 \cdot 2R_0$

2. Ключ замкнут.

Когда ключ замкнут, на участке AB образуется параллельное соединение двух ветвей. Сопротивление верхней ветви $R_{верх} = R_0$. Сопротивление нижней ветви $R_{ниж} = R_0 + R_0 = 2R_0$.

Эквивалентное сопротивление участка AB ($R_{AB2}$) найдем по формуле для параллельного соединения:

$\frac{1}{R_{AB2}} = \frac{1}{R_{верх}} + \frac{1}{R_{ниж}} = \frac{1}{R_0} + \frac{1}{2R_0} = \frac{2+1}{2R_0} = \frac{3}{2R_0}$

Отсюда $R_{AB2} = \frac{2R_0}{3}$.

Полное сопротивление всей цепи ($R_{общ2}$) в этом случае:

$R_{общ2} = R_x + R_{AB2} = R_x + \frac{2R_0}{3}$

Сила тока в цепи:

$I_2 = \frac{U}{R_{общ2}} = \frac{U}{R_x + \frac{2R_0}{3}}$

Мощность ($P_2$), выделяющаяся на участке AB:

$P_2 = I_2^2 \cdot R_{AB2} = \left(\frac{U}{R_x + \frac{2R_0}{3}}\right)^2 \cdot \frac{2R_0}{3}$

По условию задачи, мощности в обоих случаях одинаковы, $P_1 = P_2$. Приравняем полученные выражения:

$\left(\frac{U}{R_x + 2R_0}\right)^2 \cdot 2R_0 = \left(\frac{U}{R_x + \frac{2R_0}{3}}\right)^2 \cdot \frac{2R_0}{3}$

Сократим обе части уравнения на общие множители $U^2$ и $2R_0$ (они не равны нулю):

$\frac{1}{(R_x + 2R_0)^2} = \frac{1/3}{\left(R_x + \frac{2R_0}{3}\right)^2}$

$3\left(R_x + \frac{2R_0}{3}\right)^2 = (R_x + 2R_0)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как сопротивления являются положительными величинами, рассматриваем только положительные значения корней:

$\sqrt{3}\left(R_x + \frac{2R_0}{3}\right) = R_x + 2R_0$

Раскроем скобки и выразим $R_x$:

$\sqrt{3}R_x + \frac{2\sqrt{3}}{3}R_0 = R_x + 2R_0$

$\sqrt{3}R_x - R_x = 2R_0 - \frac{2\sqrt{3}}{3}R_0$

$R_x(\sqrt{3} - 1) = R_0\left(2 - \frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = R_0\frac{6 - 2\sqrt{3}}{3}$

$R_x = R_0 \frac{6 - 2\sqrt{3}}{3(\sqrt{3} - 1)}$

Упростим выражение в числителе: $6 - 2\sqrt{3} = 2(3 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)$.

$R_x = R_0 \frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{3(\sqrt{3} - 1)}$

Сократив $(\sqrt{3} - 1)$, получаем:

$R_x = R_0 \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Подставим числовое значение $R_0 = 20$ Ом:

$R_x = 20 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ Ом.

Ответ: $R_x = \frac{40\sqrt{3}}{3}$ Ом.