Номер 13.74, страница 91 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.74, страница 91.

Условие.

13.74. Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них вода закипает через $t_1 = 12$ мин, при включении другой — через $t_2 = 24$ мин. Через сколько времени закипит вода в чайнике, если включить обе обмотки параллельно? Последовательно? Теплообмен с воздухом не учитывайте.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$t_1 = 12 \text{ мин}$

$t_2 = 24 \text{ мин}$

Перевод в систему СИ:

$t_1 = 12 \cdot 60 = 720 \text{ с}$

$t_2 = 24 \cdot 60 = 1440 \text{ с}$

Найти:

$t_{пар} - ?$

$t_{посл} - ?$

Решение:

Количество теплоты $\text{Q}$, необходимое для доведения воды до кипения, во всех случаях одинаково. По закону Джоуля-Ленца, это количество теплоты равно работе электрического тока, которая определяется мощностью $\text{P}$ и временем $\text{t}$:

$Q = P \cdot t$

Мощность нагревателя зависит от напряжения в сети $\text{U}$ и сопротивления обмотки $\text{R}$ как $P = \frac{U^2}{R}$. Напряжение сети считаем постоянным. Тогда количество теплоты:

$Q = \frac{U^2}{R} t$

Для первой обмотки с сопротивлением $R_1$ имеем: $Q = \frac{U^2}{R_1} t_1$.

Для второй обмотки с сопротивлением $R_2$ имеем: $Q = \frac{U^2}{R_2} t_2$.

Из этих уравнений можно выразить сопротивления через время:

$R_1 = \frac{U^2 t_1}{Q}$

$R_2 = \frac{U^2 t_2}{Q}$

Параллельно?

При параллельном соединении обмоток их общая мощность $P_{пар}$ равна сумме мощностей каждой обмотки: $P_{пар} = P_1 + P_2$.

Так как $P = Q/t$, то можем записать:

$\frac{Q}{t_{пар}} = \frac{Q}{t_1} + \frac{Q}{t_2}$

Сокращая $\text{Q}$ в обеих частях уравнения, получаем:

$\frac{1}{t_{пар}} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2}$

Выразим $t_{пар}$:

$t_{пар} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

Подставим числовые значения:

$t_{пар} = \frac{12 \text{ мин} \cdot 24 \text{ мин}}{12 \text{ мин} + 24 \text{ мин}} = \frac{288}{36} \text{ мин} = 8 \text{ мин}$

Ответ: при параллельном соединении вода закипит через 8 минут.

Последовательно?

При последовательном соединении общее сопротивление $R_{посл}$ равно сумме сопротивлений обмоток:

$R_{посл} = R_1 + R_2$

Время закипания $t_{посл}$ находится из соотношения $Q = \frac{U^2}{R_{посл}} t_{посл}$, откуда $t_{посл} = \frac{Q \cdot R_{посл}}{U^2}$.

Подставим выражение для $R_{посл}$:

$t_{посл} = \frac{Q \cdot (R_1 + R_2)}{U^2} = \frac{Q R_1}{U^2} + \frac{Q R_2}{U^2}$

Из начальных условий мы знаем, что $t_1 = \frac{Q R_1}{U^2}$ и $t_2 = \frac{Q R_2}{U^2}$.

Следовательно, время закипания при последовательном соединении равно сумме времен закипания каждой обмотки по отдельности:

$t_{посл} = t_1 + t_2$

Подставим числовые значения:

$t_{посл} = 12 \text{ мин} + 24 \text{ мин} = 36 \text{ мин}$

Ответ: при последовательном соединении вода закипит через 36 минут.