Номер 13.76, страница 91 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.76, страница 91.

Условие.

13.76. Во сколько раз следует повысить напряжение $\text{U}$ на линии электропередачи, чтобы при передаче той же мощности потери в линии уменьшились в 400 раз? Потери во всех случаях считать малыми по сравнению с передаваемой мощностью.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$P_1 = P_2 = P$ (передаваемая мощность постоянна)

$\frac{P_{потерь1}}{P_{потерь2}} = 400$ (потери мощности уменьшились в 400 раз)

$\text{R}$ = const (сопротивление линии электропередачи не меняется)

Найти:

$\frac{U_2}{U_1}$ - ?

Решение:

Передаваемая по линии электропередачи мощность $\text{P}$ связана с напряжением $\text{U}$ и силой тока $\text{I}$ в линии соотношением:

$P = U \cdot I$

Отсюда можно выразить силу тока в линии:

$I = \frac{P}{U}$

Потери мощности $P_{потерь}$ в проводах линии электропередачи определяются по закону Джоуля-Ленца. Если сопротивление проводов равно $\text{R}$, то потери мощности равны:

$P_{потерь} = I^2 \cdot R$

Подставим в эту формулу выражение для силы тока $\text{I}$:

$P_{потерь} = \left(\frac{P}{U}\right)^2 \cdot R = \frac{P^2 R}{U^2}$

Запишем выражения для потерь мощности в первом (начальном) и во втором (после повышения напряжения) случаях:

$P_{потерь1} = \frac{P_1^2 R}{U_1^2}$

$P_{потерь2} = \frac{P_2^2 R}{U_2^2}$

По условию задачи, передаваемая мощность $\text{P}$ и сопротивление линии $\text{R}$ остаются неизменными ($P_1 = P_2 = P$).

Найдем отношение потерь мощности в первом и втором случаях:

$\frac{P_{потерь1}}{P_{потерь2}} = \frac{\frac{P^2 R}{U_1^2}}{\frac{P^2 R}{U_2^2}} = \frac{P^2 R}{U_1^2} \cdot \frac{U_2^2}{P^2 R} = \frac{U_2^2}{U_1^2} = \left(\frac{U_2}{U_1}\right)^2$

Из этого соотношения видно, что потери мощности в линии обратно пропорциональны квадрату напряжения.

Подставим известное из условия значение отношения потерь:

$400 = \left(\frac{U_2}{U_1}\right)^2$

Теперь найдем, во сколько раз следует повысить напряжение:

$\frac{U_2}{U_1} = \sqrt{400} = 20$

Таким образом, для уменьшения потерь в 400 раз при передаче той же мощности, напряжение необходимо повысить в 20 раз.

Ответ: напряжение следует повысить в 20 раз.