Номер 13.83, страница 92 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.83, страница 92.

Условие.

13.83**. Оцените время $\tau$ разрядки конденсатора (см. рисунок) после замыкания ключа. Как выглядит график зависимости от времени напряжения $U$ на конденсаторе?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Электрическая цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью $\text{C}$, резистора сопротивлением $\text{R}$ и ключа. В начальный момент времени $t=0$ ключ замыкают. Начальное напряжение на конденсаторе равно $U_0$.

Найти:

1. Оценить время разрядки конденсатора $\tau$.
2. Определить вид графика зависимости напряжения на конденсаторе $\text{U}$ от времени $\text{t}$.

Решение:

После замыкания ключа конденсатор начинает разряжаться через резистор. Согласно второму правилу Кирхгофа для данной цепи, в любой момент времени сумма напряжений на конденсаторе ($U_C$) и резисторе ($U_R$) равна нулю:

$U_C + U_R = 0$

Напряжение на конденсаторе равно $U_C = U(t) = q(t)/C$, где $q(t)$ — заряд на конденсаторе в момент времени $\text{t}$. Напряжение на резисторе равно $U_R = I \cdot R$. Ток $\text{I}$ в цепи — это скорость убывания заряда с обкладок конденсатора, поэтому $I = -dq/dt$.

Подставим эти выражения в закон Кирхгофа:

$\frac{q}{C} - R \frac{dq}{dt} = 0$

Мы получили дифференциальное уравнение первого порядка, описывающее процесс разрядки. Разделим переменные:

$\frac{dq}{q} = - \frac{dt}{RC}$

Проинтегрируем обе части уравнения, считая, что в момент $t=0$ заряд был $q_0$:

$\int_{q_0}^{q} \frac{dq'}{q'} = - \int_{0}^{t} \frac{dt'}{RC}$

$\ln(q) - \ln(q_0) = - \frac{t}{RC}$

$\ln(\frac{q}{q_0}) = - \frac{t}{RC}$

Отсюда находим зависимость заряда от времени:

$q(t) = q_0 e^{-t/RC}$

Так как напряжение на конденсаторе $U(t) = q(t)/C$ и начальное напряжение $U_0 = q_0/C$, то зависимость напряжения от времени имеет вид:

$U(t) = U_0 e^{-t/RC}$

Оцените время τ разрядки конденсатора (см. рисунок) после замыкания ключа.

Из полученной формулы $U(t) = U_0 e^{-t/RC}$ видно, что напряжение на конденсаторе убывает по экспоненциальному закону и теоретически достигает нуля только через бесконечное время. Поэтому для практической оценки времени разрядки используют величину $\tau = RC$, которая называется постоянной времени RC-цепи или временем релаксации. Эта величина имеет размерность времени и характеризует скорость спада напряжения.

За время, равное одной постоянной времени, $t = \tau = RC$, напряжение на конденсаторе уменьшится в $\text{e}$ раз (приблизительно в 2,718 раз) от своего начального значения:

$U(\tau) = U_0 e^{-RC/RC} = U_0 e^{-1} \approx 0,37 U_0$

Таким образом, постоянная времени $\tau=RC$ является удобной и общепринятой оценкой времени разрядки конденсатора.

Ответ: Характеристическое время разрядки конденсатора оценивается как постоянная времени цепи $\tau = RC$.

Как выглядит график зависимости от времени напряжения U на конденсаторе?

Зависимость напряжения на конденсаторе от времени описывается функцией $U(t) = U_0 e^{-t/RC}$. Это экспоненциальная убывающая функция.

График этой зависимости — это кривая, которая обладает следующими свойствами:
• В начальный момент времени $t=0$, напряжение максимально и равно $U(0) = U_0 e^0 = U_0$. График начинается в точке $(0, U_0)$ на оси ординат (оси напряжений).
• С течением времени ($t \to \infty$) напряжение асимптотически стремится к нулю, но никогда его не достигает за конечное время. Ось времени ($U=0$) является горизонтальной асимптотой для графика.
• Скорость уменьшения напряжения со временем замедляется. Вначале напряжение падает быстро, а затем все медленнее.

Геометрически, касательная к графику в начальный момент времени ($t=0$) пересекает ось времени в точке $t=\tau=RC$.

Ответ: График зависимости напряжения на конденсаторе от времени представляет собой экспоненциально убывающую кривую, начинающуюся в точке $(0, U_0)$ и асимптотически приближающуюся к оси времени.