Номер 14.6, страница 93 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 14. Электрический ток в различных средах - номер 14.6, страница 93.

Условие.

14.6*. Какую длину $\text{l}$ имеет вольфрамовая нить накала лампочки, рассчитанной на напряжение $U = 220\text{ В}$ и мощность $P = 200\text{ Вт}$? Температура накаленной нити $T = 2700\text{ К}$, диаметр нити $d = 0,03\text{ мм}$. При расчете считайте, что удельное сопротивление вольфрама прямо пропорционально абсолютной температуре.

Решение.

Решение 2.

Дано

Напряжение $U = 220 \text{ В}$
Мощность $P = 200 \text{ Вт}$
Температура нити $T = 2700 \text{ К}$
Диаметр нити $d = 0,03 \text{ мм}$
Условие: удельное сопротивление вольфрама прямо пропорционально абсолютной температуре ($\rho \propto T$).
Справочное значение: удельное сопротивление вольфрама при $T_0 = 293 \text{ К}$ (20 °C) равно $\rho_0 = 5,6 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

Перевод в систему СИ:
$d = 0,03 \text{ мм} = 0,03 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 3 \cdot 10^{-5} \text{ м}$

Найти:

Длину вольфрамовой нити $\text{l}$.

Решение

Сопротивление проводника $\text{R}$ связано с его геометрическими размерами и удельным сопротивлением материала $\rho$ формулой: $R = \rho \frac{l}{S}$, где $\text{l}$ – длина проводника, а $\text{S}$ – площадь его поперечного сечения.

Из этой формулы выразим искомую длину нити $\text{l}$: $l = \frac{R \cdot S}{\rho}$.

Для нахождения длины $\text{l}$ необходимо последовательно вычислить сопротивление нити $\text{R}$, площадь ее поперечного сечения $\text{S}$ и удельное сопротивление $\rho$ при рабочей температуре.

1. Сопротивление $\text{R}$ раскаленной нити найдем из формулы мощности электрического тока: $P = \frac{U^2}{R}$, откуда $R = \frac{U^2}{P}$.

Подставим числовые значения: $R = \frac{(220 \text{ В})^2}{200 \text{ Вт}} = \frac{48400}{200} \text{ Ом} = 242 \text{ Ом}$.

2. Площадь поперечного сечения нити $\text{S}$ (считая сечение круглым) определяется через ее диаметр $\text{d}$: $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Подставим значение диаметра в СИ: $S = \frac{\pi (3 \cdot 10^{-5} \text{ м})^2}{4} = \frac{9\pi}{4} \cdot 10^{-10} \text{ м}^2 \approx 7,07 \cdot 10^{-10} \text{ м}^2$.

3. Удельное сопротивление вольфрама $\rho$ при температуре накала $\text{T}$. Согласно условию, $\rho$ прямо пропорционально абсолютной температуре $\text{T}$, то есть $\rho = k \cdot T$, где $\text{k}$ – некоторый коэффициент пропорциональности. Чтобы найти этот коэффициент, воспользуемся известным значением удельного сопротивления вольфрама $\rho_0$ при температуре $T_0$. Из соотношения $\frac{\rho}{\rho_0} = \frac{T}{T_0}$ найдем $\rho$: $\rho = \rho_0 \frac{T}{T_0}$.

Подставим значения: $\rho = 5,6 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м} \cdot \frac{2700 \text{ К}}{293 \text{ К}} \approx 5,16 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}$.

4. Теперь, имея все необходимые величины, можем рассчитать длину нити $\text{l}$: $l = \frac{R \cdot S}{\rho} = \frac{242 \text{ Ом} \cdot 7,07 \cdot 10^{-10} \text{ м}^2}{5,16 \cdot 10^{-7} \text{ Ом} \cdot \text{м}} \approx 0,332 \text{ м}$.

Для большей точности подставим в конечную формулу выражения для $\text{R}$, $\text{S}$ и $\rho$: $l = \frac{(\frac{U^2}{P}) \cdot (\frac{\pi d^2}{4})}{\frac{\rho_0 T}{T_0}} = \frac{U^2 \pi d^2 T_0}{4 P \rho_0 T}$.

$l = \frac{(220)^2 \cdot \pi \cdot (3 \cdot 10^{-5})^2 \cdot 293}{4 \cdot 200 \cdot 5,6 \cdot 10^{-8} \cdot 2700} \approx \frac{48400 \cdot 3,14 \cdot 9 \cdot 10^{-10} \cdot 293}{12096000 \cdot 10^{-8}} \approx \frac{4,01 \cdot 10^{-1}}{1,21} \approx 0,3315 \text{ м}$.

Ответ: длина вольфрамовой нити составляет приблизительно $0,33 \text{ м}$ или $33 \text{ см}$.