Номер 14.8, страница 93 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 14. Электрический ток в различных средах - номер 14.8, страница 93.

Условие.

14.8**. Вольфрамовая нить диаметром $d_1 = 0,10 \text{ мм}$ и длиной $l = 1,0 \text{ м}$ натянута в вакууме. К концам нити подводят напряжение и медленно его повышают. При каком напряжении $U_1$ нить перегорит? При расчете считайте, что сопротивление вольфрама прямо пропорционально абсолютной температуре $\text{T}$. Мощность теплового излучения с единицы площади поверхности нити можно считать равной $\sigma T^4$ (величину $\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \text{ Вт}/(\text{м}^2 \cdot \text{К}^4)$ называют постоянной Стефана-Больцмана). Каким будет ответ, если диаметр нити $d_2 = 1,6 \text{ мм}$?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$d_1 = 0,10 \text{ мм}$

$l = 1,0 \text{ м}$

$d_2 = 1,6 \text{ мм}$

$\sigma = 5,67 \cdot 10^{-8} \text{ Вт/(м²} \cdot \text{К}^4\text{)}$

Сопротивление вольфрама прямо пропорционально абсолютной температуре $\text{T}$. Это означает, что его удельное сопротивление $\rho$ можно представить в виде $\rho = kT$, где $\text{k}$ - коэффициент пропорциональности.

Для расчетов потребуются справочные данные для вольфрама:

Температура плавления: $T_{пл} = 3695 \text{ К}$

Удельное сопротивление при температуре $T_0 = 293 \text{ К}$ (20 °C): $\rho_0 = 5,6 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$

Перевод в систему СИ:

$d_1 = 0,10 \cdot 10^{-3} \text{ м} = 1,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}$

$d_2 = 1,6 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Найти:

$U_1$ - напряжение, при котором перегорит нить диаметром $d_1$.

$U_2$ - напряжение, при котором перегорит нить диаметром $d_2$.

Решение:

Нить перегорает, когда ее температура достигает температуры плавления вольфрама $T_{пл}$. Поскольку напряжение повышают медленно, в каждый момент времени нить находится в состоянии теплового равновесия. В вакууме теплоотдача происходит только за счет излучения. Условие теплового равновесия: мощность, выделяемая в нити за счет электрического тока ($P_{эл}$), равна мощности теплового излучения ($P_{изл}$).

$P_{эл} = P_{изл}$

Электрическая мощность, выделяемая в нити, определяется законом Джоуля-Ленца:

$P_{эл} = \frac{U^2}{R}$

где $\text{U}$ - напряжение на концах нити, а $\text{R}$ - ее сопротивление.

Мощность теплового излучения определяется законом Стефана-Больцмана:

$P_{изл} = \sigma T_{пл}^4 S_{пов}$

где $S_{пов}$ - площадь боковой поверхности нити.

Сопротивление нити $\text{R}$ можно выразить через ее геометрические размеры и удельное сопротивление $\rho$:

$R = \rho \frac{l}{S_{сеч}}$

где $\text{l}$ - длина нити, $S_{сеч}$ - площадь ее поперечного сечения.

Площадь поперечного сечения нити: $S_{сеч} = \frac{\pi d^2}{4}$.

Площадь боковой поверхности нити: $S_{пов} = \pi d l$.

По условию, удельное сопротивление прямо пропорционально абсолютной температуре: $\rho = kT$. Коэффициент $\text{k}$ можно найти из справочных данных для вольфрама при температуре $T_0 = 293 \text{ К}$:

$k = \frac{\rho_0}{T_0} = \frac{5,6 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}}{293 \text{ К}} \approx 1,91 \cdot 10^{-10} \frac{\text{Ом} \cdot \text{м}}{\text{К}}$

При температуре плавления удельное сопротивление будет $\rho_{пл} = kT_{пл}$.

Подставим все выражения в уравнение теплового баланса:

$\frac{U^2}{R} = \sigma T_{пл}^4 S_{пов}$

$U^2 = R \cdot \sigma T_{пл}^4 S_{пов} = \left( (kT_{пл}) \frac{l}{S_{сеч}} \right) \cdot \sigma T_{пл}^4 S_{пов}$

$U^2 = \left( kT_{пл} \frac{l}{\pi d^2 / 4} \right) \cdot \sigma T_{пл}^4 (\pi d l)$

$U^2 = \frac{4klT_{пл} l}{\pi d^2} \cdot \sigma T_{пл}^4 \pi d l$

Сокращая $\pi$, $\text{d}$ и $\text{l}$, получаем:

$U^2 = \frac{4k\sigma l^2 T_{пл}^5}{d}$

Отсюда, напряжение, при котором нить перегорит:

$U = \sqrt{\frac{4k\sigma l^2 T_{пл}^5}{d}}$

При каком напряжении $U_1$ нить перегорит?

Рассчитаем напряжение $U_1$ для нити диаметром $d_1 = 1,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}$.

$U_1^2 = \frac{4 \cdot (1,91 \cdot 10^{-10}) \cdot (5,67 \cdot 10^{-8}) \cdot (1,0)^2 \cdot (3695)^5}{1,0 \cdot 10^{-4}}$

$U_1^2 = \frac{4,334 \cdot 10^{-17} \cdot 6,915 \cdot 10^{17}}{1,0 \cdot 10^{-4}} = \frac{29,98}{1,0 \cdot 10^{-4}} \approx 299800 \text{ В}^2$

$U_1 = \sqrt{299800} \approx 547,5 \text{ В}$

С учетом того, что исходные данные имеют две значащие цифры, округляем результат.

Ответ: $U_1 \approx 550 \text{ В}$.

Каким будет ответ, если диаметр нити $d_2 = 1,6$ мм?

Из выведенной формулы $U = \sqrt{\frac{4k\sigma l^2 T_{пл}^5}{d}}$ видно, что напряжение перегорания обратно пропорционально квадратному корню из диаметра нити: $U \propto \frac{1}{\sqrt{d}}$.

Можно составить отношение для $U_2$ и $U_1$:

$\frac{U_2}{U_1} = \frac{\sqrt{1/d_2}}{\sqrt{1/d_1}} = \sqrt{\frac{d_1}{d_2}}$

$U_2 = U_1 \sqrt{\frac{d_1}{d_2}} = 547,5 \cdot \sqrt{\frac{0,10 \text{ мм}}{1,6 \text{ мм}}} = 547,5 \cdot \sqrt{\frac{1}{16}} = 547,5 \cdot \frac{1}{4} \approx 136,9 \text{ В}$

Округляем результат до двух значащих цифр.

Ответ: $U_2 \approx 140 \text{ В}$.