Номер 14.2, страница 93 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 14. Электрический ток в различных средах - номер 14.2, страница 93.

Условие.

14.2*. На цоколе электрической лампы накаливания с вольфрамовой нитью написано: «120 В, 500 Вт». Если пропускать через эту лампу ток $I_1 = 8 \text{ мА}$, то падение напряжения на ней составляет $U_1 = 20 \text{ мВ}$; при этом нить накала практически не нагревается (температура $t_1 = 20^\circ C$). Какова температура $\text{t}$ нити накала в рабочем состоянии?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Номинальное напряжение лампы, $U_{ном} = 120$ В

Номинальная мощность лампы, $P_{ном} = 500$ Вт

Ток в холодном состоянии, $I_1 = 8$ мА $= 8 \cdot 10^{-3}$ А

Падение напряжения в холодном состоянии, $U_1 = 20$ мВ $= 20 \cdot 10^{-3}$ В

Температура в холодном состоянии, $t_1 = 20$ °C

Материал нити накала: вольфрам

Температурный коэффициент сопротивления вольфрама (справочное значение), $\alpha = 4.5 \cdot 10^{-3}$ К$^{-1}$

Найти:

Температуру нити накала в рабочем состоянии, $\text{t}$.

Решение:

Сопротивление проводника зависит от его температуры. Для металлов, в том числе и вольфрама, эта зависимость в определенном диапазоне температур может быть описана линейной формулой:

$R = R_1(1 + \alpha(t - t_1))$

где $\text{R}$ – сопротивление при искомой температуре $\text{t}$, $R_1$ – сопротивление при начальной температуре $t_1$, а $\alpha$ – температурный коэффициент сопротивления материала.

Сначала найдем сопротивление нити накала в холодном состоянии ($R_1$) при температуре $t_1 = 20$ °C, используя закон Ома для участка цепи:

$R_1 = \frac{U_1}{I_1}$

Подставим значения, переведенные в систему СИ:

$R_1 = \frac{20 \cdot 10^{-3} \text{ В}}{8 \cdot 10^{-3} \text{ А}} = 2.5$ Ом

Теперь найдем сопротивление нити накала в рабочем (горячем) состоянии ($\text{R}$) при искомой температуре $\text{t}$. Для этого воспользуемся формулой электрической мощности, используя номинальные (рабочие) значения напряжения и мощности, указанные на цоколе лампы:

$P_{ном} = \frac{U_{ном}^2}{R}$

Из этой формулы выразим сопротивление $\text{R}$:

$R = \frac{U_{ном}^2}{P_{ном}}$

Подставим номинальные значения:

$R = \frac{(120 \text{ В})^2}{500 \text{ Вт}} = \frac{14400}{500}$ Ом $= 28.8$ Ом

Теперь, зная сопротивления в холодном ($R_1$) и горячем ($\text{R}$) состояниях, а также начальную температуру $t_1$, можем найти температуру нити в рабочем состоянии $\text{t}$ из формулы температурной зависимости сопротивления.

Выразим искомую температуру $\text{t}$ из основной формулы $R = R_1(1 + \alpha(t - t_1))$:

$\frac{R}{R_1} = 1 + \alpha(t - t_1)$

$\frac{R}{R_1} - 1 = \alpha(t - t_1)$

$t - t_1 = \frac{1}{\alpha} \left( \frac{R}{R_1} - 1 \right)$

$t = t_1 + \frac{1}{\alpha} \left( \frac{R}{R_1} - 1 \right)$

Подставим все известные числовые значения в полученную формулу:

$t = 20 \text{ °C} + \frac{1}{4.5 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1}} \left( \frac{28.8 \text{ Ом}}{2.5 \text{ Ом}} - 1 \right)$

$t = 20 + \frac{1}{0.0045} \cdot (11.52 - 1) = 20 + \frac{10.52}{0.0045}$

$t \approx 20 + 2338 \approx 2358$ °C

Учитывая точность исходных данных (2-3 значащие цифры), округлим результат до двух значащих цифр.

Ответ: температура нити накала в рабочем состоянии составляет примерно $2.4 \cdot 10^3$ °C.