Номер 13.81, страница 92 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.81, страница 92.

Условие.

13.81*. Предохранитель изготовлен из свинцовой проволоки сечением $S_1 = 0,2 \text{ мм}^2$. При коротком замыкании сила тока достигла величины $I = 20 \text{ А}$. Через какое время $\tau$ после короткого замыкания начнет плавиться предохранитель? На сколько за это время нагреются подводящие медные провода, если их сечение $S_2 = 2 \text{ мм}^2$? Начальная температура предохранителя $t_0 = 27 \text{ °С}$. Зависимость сопротивления от температуры не учитывайте.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Материал предохранителя - свинец
Сечение свинцовой проволоки (предохранителя), $S_1 = 0,2 \, \text{мм}^2$
Материал подводящих проводов - медь
Сечение медных проводов, $S_2 = 2 \, \text{мм}^2$
Сила тока при коротком замыкании, $I = 20 \, \text{А}$
Начальная температура, $t_0 = 27 \, \text{°C}$

Справочные величины:
Для свинца:
Удельное электрическое сопротивление, $\rho_1 = 0,22 \cdot 10^{-6} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$
Удельная теплоемкость, $c_1 = 130 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Плотность, $d_1 = 11300 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
Температура плавления, $t_{пл} = 327 \, \text{°C}$
Для меди:
Удельное электрическое сопротивление, $\rho_2 = 0,017 \cdot 10^{-6} \, \text{Ом} \cdot \text{м}$
Удельная теплоемкость, $c_2 = 380 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$
Плотность, $d_2 = 8900 \, \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

$S_1 = 0,2 \, \text{мм}^2 = 0,2 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2$
$S_2 = 2 \, \text{мм}^2 = 2 \cdot 10^{-6} \, \text{м}^2$

Найти:

$\tau$ - ?
$\Delta t_2$ - ?

Решение:

Через какое время τ после короткого замыкания начнет плавиться предохранитель?
Предохранитель начнет плавиться, когда его температура достигнет температуры плавления свинца $t_{пл}$. Количество теплоты $Q_1$, необходимое для нагрева предохранителя от начальной температуры $t_0$ до температуры плавления, равно:
$Q_1 = c_1 m_1 (t_{пл} - t_0)$
Массу предохранителя $m_1$ можно выразить через его плотность $d_1$, длину $L_1$ и площадь поперечного сечения $S_1$:
$m_1 = d_1 V_1 = d_1 L_1 S_1$
Следовательно, $Q_1 = c_1 d_1 L_1 S_1 (t_{пл} - t_0)$.
Эта теплота выделяется в предохранителе за время $\tau$ при прохождении тока $\text{I}$ согласно закону Джоуля-Ленца:
$Q_1 = I^2 R_1 \tau$
Сопротивление предохранителя $R_1$ равно:
$R_1 = \rho_1 \frac{L_1}{S_1}$
Тогда количество выделившейся теплоты: $Q_1 = I^2 \rho_1 \frac{L_1}{S_1} \tau$.
Приравниваем количество теплоты, необходимое для нагрева, и количество теплоты, выделившееся при прохождении тока (считаем, что вся энергия идет на нагрев):
$c_1 d_1 L_1 S_1 (t_{пл} - t_0) = I^2 \rho_1 \frac{L_1}{S_1} \tau$
Длина проволоки $L_1$ сокращается. Выразим время $\tau$:
$\tau = \frac{c_1 d_1 S_1^2 (t_{пл} - t_0)}{I^2 \rho_1}$
Подставим числовые значения:
$\tau = \frac{130 \cdot 11300 \cdot (0,2 \cdot 10^{-6})^2 \cdot (327 - 27)}{20^2 \cdot 0,22 \cdot 10^{-6}} = \frac{130 \cdot 11300 \cdot 0,04 \cdot 10^{-12} \cdot 300}{400 \cdot 0,22 \cdot 10^{-6}} = \frac{17628000 \cdot 10^{-12}}{88 \cdot 10^{-6}} \approx 200318 \cdot 10^{-6} \approx 0,2 \, \text{с}$
Ответ: предохранитель начнет плавиться через время $\tau \approx 0,2 \, \text{с}$.

На сколько за это время нагреются подводящие медные провода?
По подводящим медным проводам течет тот же ток $\text{I}$ в течение того же времени $\tau$. Количество теплоты $Q_2$, выделившееся в проводах, пойдет на их нагрев на $\Delta t_2$:
$Q_2 = c_2 m_2 \Delta t_2$
Количество теплоты, выделившееся по закону Джоуля-Ленца:
$Q_2 = I^2 R_2 \tau$
Выразим массу $m_2$ и сопротивление $R_2$ медных проводов через их параметры (плотность $d_2$, длину $L_2$, сечение $S_2$ и удельное сопротивление $\rho_2$):
$m_2 = d_2 L_2 S_2$
$R_2 = \rho_2 \frac{L_2}{S_2}$
Приравняем выражения для $Q_2$:
$c_2 d_2 L_2 S_2 \Delta t_2 = I^2 \rho_2 \frac{L_2}{S_2} \tau$
Длина $L_2$ сокращается. Выразим изменение температуры $\Delta t_2$:
$\Delta t_2 = \frac{I^2 \rho_2 \tau}{c_2 d_2 S_2^2}$
Подставим числовые значения, используя ранее найденное время $\tau \approx 0,2003 \, \text{с}$:
$\Delta t_2 = \frac{20^2 \cdot 0,017 \cdot 10^{-6} \cdot 0,2003}{380 \cdot 8900 \cdot (2 \cdot 10^{-6})^2} = \frac{400 \cdot 0,017 \cdot 10^{-6} \cdot 0,2003}{380 \cdot 8900 \cdot 4 \cdot 10^{-12}} = \frac{1,362 \cdot 10^{-6}}{13528000 \cdot 10^{-12}} \approx 0,0001 \cdot 10^6 \approx 0,1 \, \text{°C}$
Ответ: подводящие медные провода нагреются на $\Delta t_2 \approx 0,1 \, \text{°C}$.