Номер 13.84, страница 92 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.84, страница 92.

Условие.

13.84**. Сопротивление реостата (см. рисунок) $R = 16 \text{ Ом}$. ЭДС источника тока $\mathcal{E} = 12 \text{ В}$, его внутреннее сопротивление $r = 2 \text{ Ом}$. Выразите через отношение $x = l/L$ следующие величины: силу тока $\text{I}$ через источник; напряжение $\text{U}$ на полюсах источника тока; мощность $\text{P}$, выделяющуюся в реостате. Постройте соответствующие графики.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Полное сопротивление реостата $R = 16$ Ом.

ЭДС источника тока $\mathcal{E} = 12$ В.

Внутреннее сопротивление источника $r = 2$ Ом.

Отношение $x = l/L$, где $\text{L}$ — полная длина реостата, $\text{l}$ — длина от начала до движка.

Найти:

Выразить через $\text{x}$: силу тока $\text{I}$, напряжение $\text{U}$, мощность $\text{P}$. Построить графики $I(x)$, $U(x)$, $P(x)$.

Решение:

Согласно схеме подключения, реостат разделен движком на две части с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$. Эти части соединены параллельно.

Сопротивление первой части, длина которой $\text{l}$, равно $R_1 = R \frac{l}{L} = R x$.

Сопротивление второй части, длина которой $L-l$, равно $R_2 = R \frac{L-l}{L} = R (1-x)$.

Внешнее сопротивление цепи $R_{внеш}$ равно эквивалентному сопротивлению параллельно соединенных частей $R_1$ и $R_2$:

$\frac{1}{R_{внеш}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{Rx} + \frac{1}{R(1-x)} = \frac{1-x+x}{Rx(1-x)} = \frac{1}{Rx(1-x)}$

Отсюда внешнее сопротивление как функция от $\text{x}$:

$R_{внеш}(x) = Rx(1-x) = 16x(1-x)$.

Полное сопротивление цепи $R_{полн}$ складывается из внешнего и внутреннего сопротивлений:

$R_{полн}(x) = R_{внеш}(x) + r = 16x(1-x) + 2$.

силу тока I через источник

Силу тока в цепи найдем по закону Ома для полной цепи:

$I(x) = \frac{\mathcal{E}}{R_{полн}(x)} = \frac{\mathcal{E}}{Rx(1-x) + r}$

Подставим числовые значения:

$I(x) = \frac{12}{16x(1-x) + 2} = \frac{6}{8x(1-x) + 1} = \frac{6}{-8x^2+8x+1}$

Ответ: $I(x) = \frac{12}{16x(1-x) + 2}$ А.

напряжение U на полюсах источника тока

Напряжение на полюсах (клеммах) источника равно напряжению на внешней цепи:

$U(x) = I(x) \cdot R_{внеш}(x)$

Или, что то же самое, $U(x) = \mathcal{E} - I(x) \cdot r$. Воспользуемся первой формулой:

$U(x) = \frac{\mathcal{E}}{Rx(1-x) + r} \cdot Rx(1-x) = \frac{\mathcal{E}Rx(1-x)}{Rx(1-x) + r}$

Подставим числовые значения:

$U(x) = \frac{12 \cdot 16x(1-x)}{16x(1-x) + 2} = \frac{192x(1-x)}{16x(1-x) + 2} = \frac{96x(1-x)}{8x(1-x) + 1}$

Ответ: $U(x) = \frac{192x(1-x)}{16x(1-x) + 2}$ В.

мощность P, выделяющуюся в реостате

Мощность, выделяющаяся на внешнем сопротивлении (реостате), вычисляется по формуле:

$P(x) = I(x)^2 \cdot R_{внеш}(x)$

$P(x) = \left( \frac{\mathcal{E}}{Rx(1-x) + r} \right)^2 \cdot Rx(1-x) = \frac{\mathcal{E}^2 Rx(1-x)}{(Rx(1-x) + r)^2}$

Подставим числовые значения:

$P(x) = \frac{12^2 \cdot 16x(1-x)}{(16x(1-x) + 2)^2} = \frac{144 \cdot 16x(1-x)}{(16x(1-x) + 2)^2} = \frac{2304x(1-x)}{(16x(1-x) + 2)^2} = \frac{576x(1-x)}{(8x(1-x)+1)^2}$

Ответ: $P(x) = \frac{2304x(1-x)}{(16x(1-x) + 2)^2}$ Вт.

Постройте соответствующие графики.

Проанализируем полученные функции на интервале $x \in [0, 1]$.

График силы тока $I(x)$

Функция $I(x) = \frac{12}{16x(1-x) + 2}$. Знаменатель максимален при $x=0.5$ (вершина параболы $y=x(1-x)$), следовательно, ток в этой точке минимален.
Ключевые точки:
- при $x=0$, $I(0) = \frac{12}{2} = 6$ А (ток короткого замыкания).
- при $x=1$, $I(1) = \frac{12}{2} = 6$ А.
- при $x=0.5$, $I(0.5) = \frac{12}{16 \cdot 0.5 \cdot 0.5 + 2} = \frac{12}{4+2} = 2$ А (минимальный ток).
График представляет собой симметричную кривую относительно прямой $x=0.5$, похожую на параболу с ветвями вверх, с минимумом в точке $(0.5; 2)$.

График напряжения $U(x)$

Функция $U(x) = \frac{192x(1-x)}{16x(1-x) + 2}$. Напряжение максимально, когда ток минимален, т.е. при $x=0.5$.
Ключевые точки:
- при $x=0$, $U(0) = 0$ В.
- при $x=1$, $U(1) = 0$ В.
- при $x=0.5$, $U(0.5) = \frac{192 \cdot 0.25}{16 \cdot 0.25 + 2} = \frac{48}{4+2} = 8$ В (максимальное напряжение).
График представляет собой симметричный "холм" с вершиной в точке $(0.5; 8)$.

График мощности $P(x)$

Функция $P(x) = \frac{2304x(1-x)}{(16x(1-x) + 2)^2}$. Мощность на внешней нагрузке максимальна, когда ее сопротивление равно внутреннему сопротивлению источника: $R_{внеш} = r$.
$16x(1-x) = 2 \implies 8x(1-x) = 1 \implies 8x^2 - 8x + 1 = 0$.
Решая квадратное уравнение, находим два значения $\text{x}$, при которых мощность максимальна:
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{64-32}}{16} = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{16} = \frac{2 \pm \sqrt{2}}{4}$.
$x_1 = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \approx 0.146$ и $x_2 = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.854$.
Максимальная мощность: $P_{max} = \frac{\mathcal{E}^2}{4r} = \frac{12^2}{4 \cdot 2} = \frac{144}{8} = 18$ Вт.
Ключевые точки:
- при $x=0$, $P(0) = 0$ Вт.
- при $x=1$, $P(1) = 0$ Вт.
- при $x=0.5$, $P(0.5) = \frac{2304 \cdot 0.25}{(16 \cdot 0.25 + 2)^2} = \frac{576}{6^2} = 16$ Вт (локальный минимум).
- при $x \approx 0.146$ и $x \approx 0.854$, $P_{max} = 18$ Вт.
График представляет собой симметричную "двугорбую" кривую с двумя максимумами в точках $(\frac{2 - \sqrt{2}}{4}; 18)$ и $(\frac{2 + \sqrt{2}}{4}; 18)$ и локальным минимумом в точке $(0.5; 16)$.