Номер 13.82, страница 92 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.82, страница 92.

Условие.

13.82*. Источник тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $\text{r}$ замкнут на реостат. Как зависят от сопротивления реостата $\text{R}$ следующие величины: сила тока $\text{I}$, напряжение $\text{U}$, мощность $\text{P}$ во внешней цепи, полная мощность $P_0$ и КПД цепи $\eta$? Постройте соответствующие графики. При каком $\text{R}$ достигается максимальная мощность во внешней цепи? Каков при этом КПД цепи?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Источник тока с ЭДС (электродвижущей силой) $ \mathcal{E} $.

Внутреннее сопротивление источника $ r $.

Сопротивление реостата (внешней цепи) $ R $.

Найти:

Зависимости от сопротивления реостата $ R $ для: силы тока $ I $, напряжения $ U $, мощности во внешней цепи $ P $, полной мощности $ P_0 $ и КПД цепи $ \eta $.

Значение $ R $, при котором мощность $ P $ во внешней цепи максимальна.

Значение КПД $ \eta $ при максимальной мощности во внешней цепи.

Решение:

Зависимость силы тока I от сопротивления R

По закону Ома для полной цепи, сила тока $ I $ равна отношению ЭДС источника к полному сопротивлению цепи, которое складывается из внешнего сопротивления $ R $ и внутреннего сопротивления $ r $.

Формула зависимости: $ I(R) = \frac{\mathcal{E}}{R + r} $.

При $ R = 0 $ (режим короткого замыкания) сила тока максимальна: $ I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r} $. С увеличением сопротивления $ R $ сила тока монотонно убывает, стремясь к нулю при $ R \rightarrow \infty $. График $ I(R) $ является ветвью гиперболы.

Ответ: Сила тока в цепи определяется выражением $ I(R) = \frac{\mathcal{E}}{R + r} $. С ростом $ R $ сила тока убывает от $ \frac{\mathcal{E}}{r} $ до 0.

Зависимость напряжения U на внешней цепи от сопротивления R

Напряжение на внешней цепи (на реостате) находится по закону Ома для участка цепи: $ U = I \cdot R $. Подставив выражение для силы тока $ I $, получим:

Формула зависимости: $ U(R) = \frac{\mathcal{E}}{R + r} \cdot R = \frac{\mathcal{E} R}{R + r} $.

При $ R = 0 $ напряжение $ U = 0 $. С увеличением $ R $ напряжение монотонно возрастает, асимптотически приближаясь к значению ЭДС $ \mathcal{E} $ при $ R \rightarrow \infty $. График $ U(R) $ — возрастающая кривая, выходящая из начала координат и стремящаяся к горизонтальной асимптоте $ U = \mathcal{E} $.

Ответ: Напряжение на внешней цепи описывается формулой $ U(R) = \frac{\mathcal{E} R}{R + r} $ и возрастает с увеличением $ R $ от 0 до $ \mathcal{E} $.

Зависимость мощности P во внешней цепи от сопротивления R

Мощность, выделяемая на внешнем сопротивлении $ R $ (полезная мощность), вычисляется по формуле $ P = I^2 R $. Подставим выражение для $ I $:

Формула зависимости: $ P(R) = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + r}\right)^2 R = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R + r)^2} $.

При $ R = 0 $ мощность $ P = 0 $. При $ R \rightarrow \infty $ мощность также стремится к нулю, так как знаменатель растет быстрее числителя. Это означает, что функция $ P(R) $ имеет максимум при некотором значении $ R $. График $ P(R) $ начинается в начале координат, достигает пика, а затем убывает, асимптотически приближаясь к оси $ R $.

Ответ: Мощность во внешней цепи зависит от $ R $ как $ P(R) = \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R + r)^2} $. Она равна нулю при $ R=0 $ и $ R \rightarrow \infty $, и имеет максимальное значение при некотором конечном $ R $.

Зависимость полной мощности P₀ от сопротивления R

Полная мощность, развиваемая источником тока, равна произведению его ЭДС на силу тока в цепи: $ P_0 = \mathcal{E} I $.

Формула зависимости: $ P_0(R) = \mathcal{E} \cdot \frac{\mathcal{E}}{R + r} = \frac{\mathcal{E}^2}{R + r} $.

При $ R = 0 $ полная мощность максимальна и равна $ P_{0 \max} = \frac{\mathcal{E}^2}{r} $. С ростом $ R $ полная мощность монотонно убывает, стремясь к нулю при $ R \rightarrow \infty $. График зависимости $ P_0(R) $ имеет такой же вид, как и график $ I(R) $ (ветвь гиперболы).

Ответ: Полная мощность цепи описывается формулой $ P_0(R) = \frac{\mathcal{E}^2}{R + r} $ и монотонно убывает с ростом $ R $.

Зависимость КПД цепи η от сопротивления R

Коэффициент полезного действия (КПД) цепи определяется как отношение полезной мощности $ P $ к полной мощности $ P_0 $.

Формула зависимости: $ \eta = \frac{P}{P_0} = \frac{I^2 R}{\mathcal{E} I} = \frac{IR}{\mathcal{E}} = \frac{\frac{\mathcal{E}}{R+r} \cdot R}{\mathcal{E}} = \frac{R}{R + r} $.

При $ R = 0 $ КПД $ \eta = 0 $. С увеличением $ R $ КПД монотонно возрастает, асимптотически приближаясь к 1 (или 100%) при $ R \rightarrow \infty $. График $ \eta(R) $ имеет такой же вид, как и график $ U(R) $.

Ответ: КПД цепи зависит от $ R $ как $ \eta(R) = \frac{R}{R + r} $ и монотонно возрастает с увеличением $ R $ от 0 до 1.

Условие максимальной мощности во внешней цепи и КПД при этом условии

Для нахождения значения $ R $, при котором мощность во внешней цепи $ P(R) $ максимальна, возьмем производную функции $ P(R) $ по $ R $ и приравняем ее к нулю.

$ \frac{dP}{dR} = \frac{d}{dR} \left( \frac{\mathcal{E}^2 R}{(R + r)^2} \right) = \mathcal{E}^2 \frac{1 \cdot (R+r)^2 - R \cdot 2(R+r)}{(R+r)^4} = \mathcal{E}^2 \frac{R+r - 2R}{(R+r)^3} = \mathcal{E}^2 \frac{r-R}{(R+r)^3} $.

Производная равна нулю, когда ее числитель равен нулю: $ r - R = 0 $, откуда следует, что $ R = r $.

Таким образом, максимальная мощность во внешней цепи выделяется, когда сопротивление внешней цепи равно внутреннему сопротивлению источника.

Найдем КПД цепи при этом условии, подставив $ R=r $ в формулу для $ \eta $:

$ \eta = \frac{R}{R + r} = \frac{r}{r + r} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2} = 0.5 $.

Ответ: Максимальная мощность во внешней цепи достигается при равенстве внешнего и внутреннего сопротивлений ($ R=r $). При этом КПД цепи составляет 50%.