Номер 14.4, страница 93 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 14. Электрический ток в различных средах - номер 14.4, страница 93.

Условие.

14.4. Угольный стержень соединен последовательно с железным такого же сечения. При каком отношении длин стержней сопротивление системы не будет зависеть от температуры?

Решение.

Решение 2.

Дано:

Угольный стержень (индекс "у") и железный стержень (индекс "ж") соединены последовательно.
Площадь поперечного сечения одинакова: $S_у = S_ж = S$.
Общее сопротивление системы не зависит от температуры: $\frac{dR_{общ}}{dT} = 0$.
Справочные данные (при $T=20^\circ C$):
Удельное сопротивление угля: $\rho_у = 4 \cdot 10^{-5}$ Ом$\cdot$м.
Температурный коэффициент сопротивления угля: $\alpha_у = -0.5 \cdot 10^{-3}$ К$^{-1}$.
Удельное сопротивление железа: $\rho_ж = 9.7 \cdot 10^{-8}$ Ом$\cdot$м.
Температурный коэффициент сопротивления железа: $\alpha_ж = 6.5 \cdot 10^{-3}$ К$^{-1}$.

Найти:

Отношение длин стержней: $\frac{l_у}{l_ж}$.

Решение:
Зависимость сопротивления проводника от температуры в линейном приближении описывается формулой: $R(T) = R_0 (1 + \alpha \Delta T)$, где $R_0$ – сопротивление при начальной температуре, $\alpha$ – температурный коэффициент сопротивления, а $\Delta T$ – изменение температуры.
При последовательном соединении общее сопротивление системы равно сумме сопротивлений её частей:
$R_{общ}(T) = R_у(T) + R_ж(T)$
Подставим зависимость сопротивления от температуры для каждого стержня:
$R_{общ}(T) = R_{у0}(1 + \alpha_у \Delta T) + R_{ж0}(1 + \alpha_ж \Delta T)$
Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:
$R_{общ}(T) = (R_{у0} + R_{ж0}) + (R_{у0}\alpha_у + R_{ж0}\alpha_ж) \Delta T$
Согласно условию задачи, общее сопротивление $R_{общ}$ не должно зависеть от температуры. Это означает, что изменение сопротивления при изменении температуры должно быть равно нулю. Для этого коэффициент при $\Delta T$ должен быть равен нулю:
$R_{у0}\alpha_у + R_{ж0}\alpha_ж = 0$
Сопротивление стержня при начальной температуре $R_0$ выражается через его удельное сопротивление $\rho_0$ и геометрические размеры (длину $\text{l}$ и площадь сечения $\text{S}$): $R_0 = \rho_0 \frac{l}{S}$. Подставим это выражение для угольного и железного стержней в полученное условие:
$(\rho_у \frac{l_у}{S}) \alpha_у + (\rho_ж \frac{l_ж}{S}) \alpha_ж = 0$
Так как площади поперечного сечения стержней $\text{S}$ одинаковы, их можно сократить:
$\rho_у l_у \alpha_у + \rho_ж l_ж \alpha_ж = 0$
Из данного уравнения выразим искомое отношение длин $\frac{l_у}{l_ж}$:
$\rho_у l_у \alpha_у = - \rho_ж l_ж \alpha_ж$
$\frac{l_у}{l_ж} = - \frac{\rho_ж \alpha_ж}{\rho_у \alpha_у}$
Подставим числовые значения из справочных данных:
$\frac{l_у}{l_ж} = - \frac{(9.7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot (6.5 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1})}{(4 \cdot 10^{-5} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot (-0.5 \cdot 10^{-3} \text{ К}^{-1})}$
$\frac{l_у}{l_ж} = \frac{9.7 \cdot 6.5 \cdot 10^{-11}}{4 \cdot 0.5 \cdot 10^{-8}} = \frac{63.05 \cdot 10^{-11}}{2 \cdot 10^{-8}} = 31.525 \cdot 10^{-3} \approx 0.0315$
Физический смысл полученного результата заключается в том, что при нагревании сопротивление железного стержня увеличивается (поскольку $\alpha_ж > 0$), а сопротивление угольного уменьшается (поскольку $\alpha_у < 0$). При найденном отношении длин эти изменения взаимно компенсируются, и общее сопротивление системы остается постоянным.

Ответ: отношение длины угольного стержня к длине железного стержня должно быть $\frac{l_у}{l_ж} \approx 0.0315$.