Номер 13.79, страница 92 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.79, страница 92.

Условие.

13.79*. Три тонких проволоки одинакового диаметра — железная, медная и алюминиевая — соединены последовательно. Их подключают к источнику высокого напряжения, и одна из проволок перегорает. Какая? Начальная температура $t_0 = 0 \text{ °C}$. Зависимость сопротивления от температуры не учитывайте.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Проводники: железная, медная, алюминиевая проволоки.

Соединение: последовательное ($I = \text{const}$).

Геометрия: одинаковый диаметр ($d = \text{const}$, следовательно, площадь поперечного сечения $S = \text{const}$).

Начальная температура: $t_0 = 0$ °C.

Найти:

Какая из проволок перегорит?

Решение:

Перегорит та проволока, которая первой достигнет своей температуры плавления. Для определения этой проволоки необходимо проанализировать скорость ее нагрева при прохождении электрического тока.

Так как проволоки соединены последовательно, сила тока $\text{I}$ в них одинакова. По условию, диаметры проволок также одинаковы, следовательно, площади их поперечного сечения $\text{S}$ равны.

За малый промежуток времени $\text{dt}$ в проволоке выделяется количество теплоты $\text{dQ}$ согласно закону Джоуля-Ленца:
$dQ = I^2 R dt$

где $\text{R}$ – сопротивление проволоки. Сопротивление можно выразить через удельное сопротивление материала $\rho$, длину проволоки $\text{l}$ и площадь поперечного сечения $\text{S}$:
$R = \rho \frac{l}{S}$

Выделившееся тепло идет на нагревание проволоки. Количество теплоты, необходимое для повышения температуры проволоки на $\text{dT}$, составляет:
$dQ = c m dT$

где $\text{c}$ – удельная теплоемкость материала, а $\text{m}$ – масса участка проволоки. Массу можно выразить через плотность материала $\text{D}$ и объем $V = lS$:
$m = D \cdot V = D l S$

Приравнивая выражения для $\text{dQ}$, получаем уравнение теплового баланса (пренебрегая теплоотдачей в окружающую среду, что оправдано при быстром нагреве до высокой температуры):
$I^2 R dt = c m dT$

Отсюда можно выразить скорость нагрева проволоки:
$\frac{dT}{dt} = \frac{I^2 R}{c m}$

Подставим в это выражение формулы для $\text{R}$ и $\text{m}$:
$\frac{dT}{dt} = \frac{I^2 (\rho \frac{l}{S})}{c (D l S)} = \frac{I^2 \rho l}{c D l S^2} = \frac{I^2 \rho}{c D S^2}$

Поскольку величины $\text{I}$ и $\text{S}$ одинаковы для всех трех проволок, скорость нагрева для каждой проволоки пропорциональна величине $\frac{\rho}{cD}$, зависящей только от свойств материала.

Проволока перегорит, когда ее температура поднимется от начальной $t_0$ до температуры плавления $t_m$. Время $\Delta t$, необходимое для этого (при условии, что скорость нагрева постоянна, так как зависимость $\text{R}$ от $\text{T}$ по условию не учитывается), равно:
$\Delta t = \frac{t_m - t_0}{\frac{dT}{dt}}$

Перегорит первой та проволока, для которой время $\Delta t$ минимально. Это соответствует максимальному значению величины $\frac{1}{\Delta t} = \frac{\frac{dT}{dt}}{t_m - t_0}$. Учитывая, что $t_0 = 0$ °C, нам нужно найти материал с максимальным значением величины $K = \frac{\rho}{cD t_m}$.

Воспользуемся справочными данными для железа (Fe), меди (Cu) и алюминия (Al):

Железо: $\rho_{Fe} = 9.71 \cdot 10^{-8}$ Ом·м, $D_{Fe} = 7870$ кг/м³, $c_{Fe} = 450$ Дж/(кг·°C), $t_{m, Fe} = 1538$ °C.

Медь: $\rho_{Cu} = 1.68 \cdot 10^{-8}$ Ом·м, $D_{Cu} = 8960$ кг/м³, $c_{Cu} = 385$ Дж/(кг·°C), $t_{m, Cu} = 1085$ °C.

Алюминий: $\rho_{Al} = 2.65 \cdot 10^{-8}$ Ом·м, $D_{Al} = 2700$ кг/м³, $c_{Al} = 900$ Дж/(кг·°C), $t_{m, Al} = 660$ °C.

Рассчитаем относительные значения $\text{K}$ для каждого материала, опустив для простоты сравнения общие множители:

$K_{Fe} \propto \frac{\rho_{Fe}}{c_{Fe} D_{Fe} t_{m, Fe}} = \frac{9.71 \cdot 10^{-8}}{450 \cdot 7870 \cdot 1538} \approx 1.78 \cdot 10^{-17}$

$K_{Cu} \propto \frac{\rho_{Cu}}{c_{Cu} D_{Cu} t_{m, Cu}} = \frac{1.68 \cdot 10^{-8}}{385 \cdot 8960 \cdot 1085} \approx 0.45 \cdot 10^{-17}$

$K_{Al} \propto \frac{\rho_{Al}}{c_{Al} D_{Al} t_{m, Al}} = \frac{2.65 \cdot 10^{-8}}{900 \cdot 2700 \cdot 660} \approx 1.65 \cdot 10^{-17}$

Сравнивая полученные величины, получаем: $K_{Fe} > K_{Al} > K_{Cu}$.

Максимальное значение $\text{K}$ соответствует железной проволоке. Следовательно, она нагреется до температуры плавления и перегорит быстрее остальных.

Ответ: Перегорит железная проволока.