Номер 13.77, страница 91 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.77, страница 91.

Условие.

13.77*. Электропоезд идет по горизонтальному участку пути с постоянной скоростью, а затем с другой постоянной скоростью преодолевает подъем с уклоном $k = 0,04$. Потребляемая сила тока на горизонтальном участке $I_1 = 240$ А, а на подъеме $I_2 = 450$ А. Коэффициент сопротивления движению $\mu = 0,02$. Найдите отношение скоростей $v_1$ и $v_2$ на этих двух участках, считая КПД двигателя неизменным.

Решение.

Решение 2.

Дано:

$k = 0,04$

$I_1 = 240 \text{ А}$

$I_2 = 450 \text{ А}$

$\mu = 0,02$

$\eta = \text{const}$

Найти:

$\frac{v_1}{v_2}$

Решение:

Поскольку электропоезд движется с постоянной скоростью на обоих участках, то согласно первому закону Ньютона, сила тяги двигателя $\text{F}$ уравновешивает все силы, препятствующие движению.

На горизонтальном участке сила тяги $F_1$ равна силе сопротивления движению $F_{сопр1}$. Сила сопротивления пропорциональна силе нормальной реакции $\text{N}$ с коэффициентом $\mu$. На горизонтальном участке $N_1 = mg$, где $\text{m}$ – масса поезда, $\text{g}$ – ускорение свободного падения. Таким образом, сила тяги на первом участке:

$F_1 = F_{сопр1} = \mu N_1 = \mu mg$

На подъеме сила тяги $F_2$ уравновешивает сумму силы сопротивления $F_{сопр2}$ и скатывающей составляющей силы тяжести $F_{скат}$. Уклон $\text{k}$ равен тангенсу угла наклона пути $\alpha$ к горизонту ($k = \tan\alpha$). Для малых углов, что справедливо в данном случае ($k=0,04$), можно принять $\sin\alpha \approx \tan\alpha = k$ и $\cos\alpha \approx 1$.Сила нормальной реакции на подъеме $N_2 = mg\cos\alpha \approx mg$.Тогда сила сопротивления $F_{сопр2} = \mu N_2 \approx \mu mg$.Скатывающая сила $F_{скат} = mg\sin\alpha \approx mgk$.Таким образом, сила тяги на втором участке:

$F_2 = F_{сопр2} + F_{скат} = \mu mg + mgk = mg(\mu+k)$

Полезная механическая мощность, развиваемая двигателем, равна $P_{мех} = Fv$. Потребляемая электрическая мощность $P_{эл} = UI$, где $\text{U}$ — напряжение в сети (которое мы считаем постоянным), а $\text{I}$ — сила тока.Коэффициент полезного действия (КПД) двигателя $\eta$ определяется как отношение полезной мощности к потребляемой:

$\eta = \frac{P_{мех}}{P_{эл}} = \frac{Fv}{UI}$

Запишем выражения для КПД на обоих участках:

1. Горизонтальный участок: $\eta_1 = \frac{F_1 v_1}{UI_1} = \frac{\mu mg v_1}{UI_1}$

2. Подъем: $\eta_2 = \frac{F_2 v_2}{UI_2} = \frac{mg(\mu+k)v_2}{UI_2}$

По условию задачи КПД двигателя неизменен, т.е. $\eta_1 = \eta_2$. Приравняем полученные выражения:

$\frac{\mu mg v_1}{UI_1} = \frac{mg(\mu+k)v_2}{UI_2}$

Сократим общие множители $\text{mg}$ и $\text{U}$ в обеих частях уравнения:

$\frac{\mu v_1}{I_1} = \frac{(\mu+k)v_2}{I_2}$

Выразим из этого равенства искомое отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{I_1}{I_2} \cdot \frac{\mu+k}{\mu}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{v_1}{v_2} = \frac{240}{450} \cdot \frac{0,02 + 0,04}{0,02} = \frac{24}{45} \cdot \frac{0,06}{0,02} = \frac{8}{15} \cdot 3 = \frac{8}{5} = 1,6$

Ответ: $\frac{v_1}{v_2} = 1,6$.