Номер 13.70, страница 91 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.70, страница 91.

Условие.

13.70*. При поочередном подключении к источнику ЭДС двух электрических нагревателей с сопротивлениями $R_1 = 3,0 \text{ Ом}$ и $R_2 = 48 \text{ Ом}$ в них выделяется одинаковая мощность $P = 1,2 \text{ кВт}$. Найдите силу тока $I_{\text{кз}}$ при коротком замыкании источника.

Решение.

Решение 2.

Дано

$R_1 = 3,0$ Ом
$R_2 = 48$ Ом
$P_1 = P_2 = P = 1,2$ кВт

Перевод в СИ:
$P = 1,2 \text{ кВт} = 1,2 \times 10^3 \text{ Вт} = 1200 \text{ Вт}$

Найти:

$I_{кз}$

Решение

Мощность $\text{P}$, выделяемая во внешней цепи, на нагрузке с сопротивлением $\text{R}$, определяется по формуле:

$P = I^2 R$

где $\text{I}$ — сила тока в цепи. Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока определяется как:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}$

где $\mathcal{E}$ — ЭДС источника, а $\text{r}$ — его внутреннее сопротивление.

Объединив эти две формулы, получим выражение для мощности, выделяемой на внешнем сопротивлении:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R + r}\right)^2 R$

По условию задачи, при поочередном подключении к источнику двух нагревателей с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ в них выделяется одинаковая мощность $\text{P}$. Запишем это в виде системы из двух уравнений:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}\right)^2 R_1$

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_2 + r}\right)^2 R_2$

Так как левые части уравнений равны, приравняем и правые части:

$\left(\frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}\right)^2 R_1 = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_2 + r}\right)^2 R_2$

Сократим $\mathcal{E}^2$, так как ЭДС источника не равна нулю:

$\frac{R_1}{(R_1 + r)^2} = \frac{R_2}{(R_2 + r)^2}$

Преобразуем полученное выражение для нахождения внутреннего сопротивления $\text{r}$:

$R_1(R_2 + r)^2 = R_2(R_1 + r)^2$

$R_1(R_2^2 + 2R_2r + r^2) = R_2(R_1^2 + 2R_1r + r^2)$

$R_1R_2^2 + 2R_1R_2r + R_1r^2 = R_2R_1^2 + 2R_1R_2r + R_2r^2$

Сократим слагаемое $2R_1R_2r$ в обеих частях уравнения:

$R_1R_2^2 + R_1r^2 = R_2R_1^2 + R_2r^2$

$r^2(R_1 - R_2) = R_1R_2(R_1 - R_2)$

Так как $R_1 \neq R_2$, можно разделить обе части на $(R_1 - R_2)$:

$r^2 = R_1R_2$

$r = \sqrt{R_1R_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$r = \sqrt{3,0 \text{ Ом} \times 48 \text{ Ом}} = \sqrt{144 \text{ Ом}^2} = 12 \text{ Ом}$

Теперь, зная внутреннее сопротивление, можно найти ЭДС источника $\mathcal{E}$, используя формулу для мощности для любого из нагревателей, например, для первого:

$P = \left(\frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}\right)^2 R_1 \implies \mathcal{E}^2 = \frac{P(R_1 + r)^2}{R_1}$

$\mathcal{E} = (R_1 + r)\sqrt{\frac{P}{R_1}}$

Подставим числовые значения:

$\mathcal{E} = (3,0 \text{ Ом} + 12 \text{ Ом})\sqrt{\frac{1200 \text{ Вт}}{3,0 \text{ Ом}}} = 15 \text{ Ом} \times \sqrt{400 \frac{В \cdot А}{Ом}} = 15 \text{ Ом} \times 20 \text{ А} = 300 \text{ В}$

Ток короткого замыкания $I_{кз}$ — это максимальный ток, который может дать источник. Он возникает, когда внешнее сопротивление цепи равно нулю ($R=0$). Из закона Ома для полной цепи:

$I_{кз} = \frac{\mathcal{E}}{r}$

Вычислим силу тока короткого замыкания:

$I_{кз} = \frac{300 \text{ В}}{12 \text{ Ом}} = 25 \text{ А}$

Ответ: 25 А.