Номер 13.69, страница 90 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.69, страница 90.

Условие.

13.69. Имеются два резистора с сопротивлениями $R_1 = 2,0 \text{ Ом}$ и $R_2 = 4,5 \text{ Ом}.$ Их подключают к источнику тока сначала параллельно, а потом последовательно. При каком внутреннем сопротивлении $\text{r}$ источника тока в обоих случаях во внешней цепи выделяется одинаковая мощность?

Решение.

Решение 2.

Дано:

$R_1 = 2,0 \text{ Ом}$

$R_2 = 4,5 \text{ Ом}$

$P_{пар} = P_{посл}$

Найти:

$\text{r}$ - ?

Решение:

Мощность, выделяемая во внешней цепи, определяется по формуле $P = I^2 R_{внеш}$, где $\text{I}$ - сила тока в цепи, а $R_{внеш}$ - сопротивление внешней цепи. Сила тока в полной цепи, согласно закону Ома для полной цепи, равна $I = \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш} + r}$, где $\mathcal{E}$ - ЭДС источника, а $\text{r}$ - его внутреннее сопротивление.Подставив выражение для силы тока в формулу мощности, получим:

$P = \left( \frac{\mathcal{E}}{R_{внеш} + r} \right)^2 R_{внеш} = \frac{\mathcal{E}^2 R_{внеш}}{(R_{внеш} + r)^2}$

Рассмотрим два случая подключения резисторов.

1. Параллельное соединение.

Внешнее сопротивление цепи $R_{пар}$ вычисляется по формуле:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \implies R_{пар} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$

Мощность, выделяемая в этом случае:

$P_{пар} = \frac{\mathcal{E}^2 R_{пар}}{(R_{пар} + r)^2}$

2. Последовательное соединение.

Внешнее сопротивление цепи $R_{посл}$ равно сумме сопротивлений:

$R_{посл} = R_1 + R_2$

Мощность, выделяемая в этом случае:

$P_{посл} = \frac{\mathcal{E}^2 R_{посл}}{(R_{посл} + r)^2}$

По условию задачи, мощности в обоих случаях равны: $P_{пар} = P_{посл}$.

$\frac{\mathcal{E}^2 R_{пар}}{(R_{пар} + r)^2} = \frac{\mathcal{E}^2 R_{посл}}{(R_{посл} + r)^2}$

Сократим $\mathcal{E}^2$ (ЭДС источника не равна нулю):

$\frac{R_{пар}}{(R_{пар} + r)^2} = \frac{R_{посл}}{(R_{посл} + r)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$\frac{\sqrt{R_{пар}}}{R_{пар} + r} = \frac{\sqrt{R_{посл}}}{R_{посл} + r}$

Перемножим крест-накрест:

$\sqrt{R_{пар}}(R_{посл} + r) = \sqrt{R_{посл}}(R_{пар} + r)$

$\sqrt{R_{пар}}R_{посл} + r\sqrt{R_{пар}} = \sqrt{R_{посл}}R_{пар} + r\sqrt{R_{посл}}$

Сгруппируем слагаемые с $\text{r}$:

$r(\sqrt{R_{пар}} - \sqrt{R_{посл}}) = R_{пар}\sqrt{R_{посл}} - R_{посл}\sqrt{R_{пар}}$

$r(\sqrt{R_{пар}} - \sqrt{R_{посл}}) = \sqrt{R_{пар}R_{посл}}(\sqrt{R_{пар}} - \sqrt{R_{посл}})$

Поскольку $R_{пар} \neq R_{посл}$, то $(\sqrt{R_{пар}} - \sqrt{R_{посл}}) \neq 0$, и мы можем разделить обе части на это выражение:

$r = \sqrt{R_{пар} R_{посл}}$

Подставим в эту формулу выражения для $R_{пар}$ и $R_{посл}$:

$r = \sqrt{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \cdot (R_1 + R_2)} = \sqrt{R_1 R_2}$

Теперь подставим числовые значения:

$r = \sqrt{2,0 \text{ Ом} \cdot 4,5 \text{ Ом}} = \sqrt{9,0 \text{ Ом}^2} = 3,0 \text{ Ом}$

Ответ: $r = 3,0 \text{ Ом}$.