Номер 13.62, страница 89 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.62, страница 89.

Условие.

13.62*. Найдите заряд $\text{q}$ на конденсаторе емкостью $\text{C}$ (см. рисунок). Внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало.

Решение.

Решение 2.

Дано:

Емкость конденсатора $C_{DA} = 2C$

Емкость конденсатора $C_{AE} = 3C$

Емкость конденсатора $C_{AB} = C$

Сопротивление резистора $R_{DB} = 3R$

Сопротивление резистора $R_{BE} = R$

ЭДС источника: $\mathcal{E}$

Внутреннее сопротивление источника $r=0$

Найти:

Заряд $\text{q}$ на конденсаторе емкостью $\text{C}$.

Решение:

В установившемся режиме, когда конденсаторы полностью зарядятся, постоянный ток через них протекать не будет. Следовательно, ток от источника пойдет только через нижнюю ветвь с резисторами $\text{3R}$ и $\text{R}$, которые соединены последовательно.

Общее сопротивление в цепи равно сумме сопротивлений резисторов:

$R_{общ} = 3R + R = 4R$

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока, протекающего через резисторы, равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_{общ}} = \frac{\mathcal{E}}{4R}$

Для нахождения заряда на конденсаторе $\text{C}$ необходимо определить разность потенциалов $U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B$ между точками A и B. Примем потенциал точки E (отрицательный полюс источника) за ноль: $\varphi_E = 0$. Тогда потенциал точки D (положительный полюс) будет равен ЭДС источника: $\varphi_D = \mathcal{E}$.

Найдем потенциал точки B. Он равен падению напряжения на резисторе $\text{R}$, так как другой конец этого резистора (точка E) имеет нулевой потенциал:

$\varphi_B = U_{BE} = I \cdot R = \frac{\mathcal{E}}{4R} \cdot R = \frac{\mathcal{E}}{4}$

Теперь найдем потенциал точки A. Ветвь DAE состоит из двух последовательно соединенных конденсаторов $\text{2C}$ и $\text{3C}$, подключенных к напряжению $U_{DE} = \varphi_D - \varphi_E = \mathcal{E}$. Поскольку ток через них не течет, они действуют как делитель напряжения.

Напряжение на конденсаторах, соединенных последовательно, распределяется обратно пропорционально их емкостям. Найдем напряжение на конденсаторе $\text{3C}$ (участок AE):

$U_{AE} = \mathcal{E} \cdot \frac{1/3C}{1/2C + 1/3C} = \mathcal{E} \cdot \frac{1/3C}{5/6C} = \mathcal{E} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{2\mathcal{E}}{5}$

Потенциал в точке A равен напряжению на участке AE, так как $\varphi_E = 0$:

$\varphi_A = U_{AE} = \frac{2\mathcal{E}}{5}$

Теперь мы можем найти разность потенциалов (напряжение) на конденсаторе C, подключенном между точками A и B:

$U_{AB} = \varphi_A - \varphi_B = \frac{2\mathcal{E}}{5} - \frac{\mathcal{E}}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$U_{AB} = \frac{8\mathcal{E} - 5\mathcal{E}}{20} = \frac{3\mathcal{E}}{20}$

Заряд $\text{q}$ на конденсаторе емкостью $\text{C}$ определяется по формуле $q = C \cdot U_{AB}$:

$q = C \cdot \frac{3\mathcal{E}}{20} = \frac{3}{20}C\mathcal{E}$

Ответ: $q = \frac{3}{20}C\mathcal{E}$