Номер 13.59, страница 89 - гдз по физике 8-11 класс учебник, задачник Гельфгат, Генденштейн

Задачи. Электричество и магнетизм. 13. Законы постоянного тока - номер 13.59, страница 89.

Условие.

13.59. Найдите напряжения $U_1$, $U_2$, $U_3$ на каждом из конденсаторов (см. рисунок).

Решение.

Решение 2.

Дано:

ЭДС источника: $\mathcal{E}$

Сопротивления резисторов: $R_1, R_2$

Емкости конденсаторов: $C_1, C_2, C_3$

Найти:

Напряжения на конденсаторах: $U_1, U_2, U_3$

Решение:

Данная задача рассматривается в установившемся режиме для цепи постоянного тока. В этом режиме, по прошествии длительного времени после подключения источника, все переходные процессы завершаются. Конденсаторы полностью заряжаются и перестают пропускать постоянный ток. Таким образом, ветви, содержащие конденсаторы, ведут себя как разрывы в цепи для постоянного тока.

Однако, в схеме есть замкнутый контур, не содержащий конденсаторов (или, точнее, содержащий путь для тока, который не разрывается конденсаторами), по которому может протекать постоянный ток. Этот ток течет от источника ЭДС $\mathcal{E}$ через последовательно соединенные резисторы $R_1$ и $R_2$. Конденсаторы $C_1, C_2, C_3$ подключены параллельно различным участкам этой цепи и заряжаются до напряжений, соответствующих этим участкам.

Полное сопротивление цепи для постоянного тока определяется только резисторами: $R_{общ} = R_1 + R_2$.

Сила тока в этой цепи, согласно закону Ома, равна:

$I = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_2}$

Для определения напряжений на конденсаторах найдем потенциалы в ключевых точках схемы. Примем потенциал нижнего провода схемы за ноль ($\phi_{низ} = 0$). Тогда потенциал верхнего провода будет равен ЭДС источника ($\phi_{верх} = \mathcal{E}$).

Найдем потенциал $\phi_M$ в точке соединения резисторов $R_1$ и $R_2$. Этот потенциал можно найти как напряжение на резисторе $R_2$ относительно нулевого потенциала:

$\phi_M = I \cdot R_2 = \frac{\mathcal{E} R_2}{R_1 + R_2}$

Теперь, зная потенциалы в узлах схемы, можем найти напряжения на каждом конденсаторе.

U₁

Конденсатор $C_1$ подключен между верхним ($\phi_{верх} = \mathcal{E}$) и нижним ($\phi_{низ} = 0$) проводами. Следовательно, напряжение на нем равно разности потенциалов этих проводов.

$U_1 = \phi_{верх} - \phi_{низ} = \mathcal{E} - 0 = \mathcal{E}$

Ответ: $U_1 = \mathcal{E}$

U₂

Конденсатор $C_2$ подключен между точкой M (с потенциалом $\phi_M$) и нижним проводом (с потенциалом 0). Напряжение на нем равно разности этих потенциалов.

$U_2 = \phi_M - \phi_{низ} = \phi_M - 0 = \frac{\mathcal{E} R_2}{R_1 + R_2}$

Ответ: $U_2 = \frac{\mathcal{E} R_2}{R_1 + R_2}$

U₃

Конденсатор $C_3$ подключен между верхним проводом (с потенциалом $\mathcal{E}$) и точкой M (с потенциалом $\phi_M$). Напряжение на нем равно разности этих потенциалов.

$U_3 = \phi_{верх} - \phi_M = \mathcal{E} - \frac{\mathcal{E} R_2}{R_1 + R_2} = \mathcal{E} \left( 1 - \frac{R_2}{R_1 + R_2} \right) = \mathcal{E} \frac{R_1 + R_2 - R_2}{R_1 + R_2} = \frac{\mathcal{E} R_1}{R_1 + R_2}$

Стоит заметить, что конденсатор $C_3$ подключен параллельно резистору $R_1$, а конденсатор $C_2$ — параллельно резистору $R_2$. Поэтому напряжения на них равны падениям напряжения на соответствующих резисторах в установившемся режиме.

Ответ: $U_3 = \frac{\mathcal{E} R_1}{R_1 + R_2}$